§9.1 条件平差原理在条件观测平差中，以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L作为未知数，列出v 个未知数的条件式，在min =PV V T 情况下，用条件极值的方法求出一组v 值，进而求出平差值。

9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ，其相应的权阵为 ， 它是对角阵，改正数为 ，平差值为 。

当有r 个多余观测时，则平差值 应满足r 个平差值条件方程为：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n （9-1） 式中i a 、i b 、…i r （i =1、2、…n ）——为条件方程的系数；0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ（i =1、2、…n ）代入(9-1)得条件方程（9-2）式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差，或称为条件方程的不符值，即（9-3） 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ211⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛=⨯b a r w w W 1⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛=⨯n v v V 211⎪⎪⎪⎫⎛=⨯οοb a A o r 11⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L⎪⎪⎪⎫⎛=⨯n n p p P 000021则(9-1)及（9-2）上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA （9-4） 0=+W AV （9-5）上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V 的无穷多组解中，取PV V T = 最小的一组解是唯一的，V 的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。

为此，设 ，K 称为联系数向量，它的唯数与条件方程个数相等，按拉格朗日乘数法解条件极值问题时，要组成新的函数：)(2W AV K PV V T T +-=Φ 将Φ对V 求一阶导数，并令其为零得：A K P V T T =K A PV T =K A V V T 1-= （9-6）上式称为改正数方程，其纯量形式为)(1r i b i a i i i k r k b k a p v +++= （i =1、2、…n ） （9-7）代 K A P V T 1-=入0=+W AV 得01=+-W K A AP T0=+W NK （9-8）上式称为联系数法方程，简称法方程。

式中N 法方程系数距阵，为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P rr P br P ar P br P bb P ab P ar P ab p aa N（9-9） 因N A AP A P A A AP N T T T T T T T ====---111)()( 故，N 是r 阶的对称方阵。

法方程的纯量形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡000r r b a b r b a a rb a w k p rr k p br k p ar w k p br k p bb k p ab w k p ar k p ab k p aa （9-10） r n Tn n n r rr A P A N ⨯⨯-⨯⨯=1()r b a rTk k k K =⨯1AK P V V T T 22-=∂Φ∂从法方程解出联系数K 后，将K 值代入改正数方程，求出改正数V 值，再求平差值V L L+=ˆ，这样就完成了按条件平差求平差值的工作。

9.1.2 精度评定当各被观测量的平差值求出后，下一步就是对观测精度及平差值或平差值函数的精度进行评定，下面来讨论这个问题。

1.单位权中误差条件平差中单位权中误差tn PVV T -±=0ˆσ（9-11）或 （9-12）从中误差计算公式可知，为了计算0ˆσ，关键是计算PV V T ()Pvv 。

下面将讨论PV V T ()Pvv 的计算方法。

（1）、由i V 直接计算[]2222211n n v P v P v P Pvv +++= （9-13）（2）、由联系数K 及常数项W 计算 因 0=+W AVK A P V T 1-= 故()K A PP V K A P P V PV V T T T T T 11--==K A V T T =()K W K AV T T-== （9-14） （3）、直接在高斯——杜力特表格中解算将（9-4）的矩阵方程写为纯量形式则有r r b b a a T k W k W k W PV V ++++=- 0 令 0=w W则 r r b b a a w T k W k W k W W PV V ++++=-[][]()[]()()[]111111-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-⋅--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-r W r prr r W W p bb W W p aa W W PV V rr bb a aw T[])()(0w w r W w ⨯+=⋅= （9-15）（2）平差值函数的权倒数设有平差值函数为()nL L L f ˆ,,ˆ,ˆ21 =ϕ （9-16）它的权函数式为：nn L d L L d L L d L d ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆ(2211∂∂++∂∂+∂∂=ϕϕϕϕ []rPvv ±=0ˆσnn L d f L d f L d f ˆˆˆ2211+++= （9-17）令()n T f f f f ,,21= ()T nL d L d L d L d ˆ,ˆ,ˆˆ21 = 则Ld f d T ˆ=ϕ （9-18）（9-19）这就是高斯约化表中 的计算公式，其规律与[]r W w ⋅计算规律完全相同。

§9.2 条件方程列立及线性化9.2.1 水准网水准网平差的主要目的，是确定网中未知点的最或然高程。

例如图(9-1)的水准网中，有四个已知水准点(图中以“⊗”表示的点)，两个未知点（图中以“○”表示的点），并有六个观测值。

从图中可以看出，要确定E 和F 点的高程，必须观测两个观测值，如1h 和6h ，或4h 个数。

图（9-1）中必须观测个数2=t ， 而条件方程个数426=-=-=t n r如果水准网中无知点，这时只能假定某点的高程为已知并此为基准，去确定其次各点的相对高程。

例如图(9-2)的水准网中，其中没有已知水准点，这时，通过平差计算，只能确定各点的相对高程。

为此，可先假定某一点高程值为已知，例如设000.50=A H m 并以此为基准，去确定B 、C 、D 等点的相对高程。

这样，只要观测三个观测值就行了，所以，在没有已知点水准网中，必须观测个数等于网中全部未知点个数减去1。

图(4-2)水准网中，必须观测个数314=-=t , 而条件方程个数为336=-=r 。

例(9-1)如图（9-3)所示的水准网中，A 、B 为已知点，21,P P 及3P 为未知点，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=r P ff ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1111111r P rf r P rr r P rf P bf P bb P bf Paf P aa P af P ff P ϕϕP 17654321,,,,,,h h h h h h h 为观测高程，试列条件方程。

解：=t 未知点个数=3 437=-=r 按照水准闭合环平差后高差之和应等于零的关系，列出3个闭合环条件方程，又按照平差后高差与已知高差高应相等的关系，列出1个附合条件方程，它们是0ˆˆˆ521=+-h h h （1）0ˆˆˆ765=-+h h h0ˆˆˆ643=--h h h ˆˆ31-+-BA H H h h 相应的改正数条件方程为000431364327651521=+-=+--=+-+=++-w v v w v v v w v v v w v v v 式中图9-39.2.2测角网如图（9-4）的测角网，其中A 、B 为已知点，或者是已知A 或B 点坐标及AB 边长和方位角，C 、D 为待定点，共观测了9个水平角i i i c b a ,,（=i 1，2，3），根据两个已知点来确定一个待定点，至少需要观测两个角，或者两条边，或者一个角和一条边，因此确定一个待定点的必要观测值为两个，若网中有N 个待定点，则必要观测个数为待定点（未知点）个数的两倍。

于是，图（9-4）中，必要观测个数4222=⨯==N t ，则多余观测个数549=-=-=t n r 。

故总共应列出5个条件方程。

另外，如果网中没有已知点，或者不具备四个起算数据，则一个点的坐标（y x ,）和一条边的方位角α可以是假定或是已知的，而一条边的边长s是必须测定的，这就等价于已知有两个已知点的测角三角网，若设网中共有N 个三角点，则必要观测个数42)2(2-=-=N N t 。

测角网的基本条件有三种类型，现以此例说明。

一类是三角形内角和条件，通称图形条件，由该图列出三个图形条件，即180ˆˆˆ180ˆˆˆ180ˆˆˆ333222111-++-++-++︒︒︒c b a c b ac b a A H h h w h h h w h h h w h h h w -+-=--=-+=+-=324643376525211将 i ii c i i b i i a i i v c cv b b v a a+=+=+=ˆˆˆ （=i 1，2，3） 代入上式得：02222=+++w v v v c b a 图9-4 其中 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-++=-++=-++= 180180180333322221111c b a w c b a w c b a w一类是圆周角条件或称水平条件，由图（9-4）可列出一个圆周条件，即0360ˆˆˆ321=-++︒c c c或 04321=+++w v v v c c c式中 ︒-++=3603214c c c w一类是极条件或称边长条件即这个条件方程是围绕中点D 推算边长的，故称为以D 点为极的极条件方程。