rm2 h
rm
p 1 e
p mh2 k2
r p
E k 4 (e2 1)
1 e cos
2mh2
e 1 2mh2 E k4
质点的总 机械能与 轨道偏心 率的关系
e<1, 则 E<0, 则轨道为椭圆 e=1, 则 E=0, 则轨道为抛物线 e>1, 则 E>0, 则轨道为双曲线
r r2 F (r)
m
r 2 h
r
dr
d
d
dt
dr d
h r2
dr
d
h d
d
(1) r
进行变换 u 1 r
将
r h du
d hu2
代入 r r 2 F(r)
m
r
h
d 2u
d 2
h 2u 2
d 2u
d 2
mh2u
2
(
d 2u
d 2
u)
F (u)
有心运动的轨道微分方程 --- Binet （比内)公式
• 有心力的特性：
– ◆ 质点做有心运动时角动量守恒（质点所受到的力 始终沿着力心，导致其对力心的力矩始终为0）
– ◆ 质点做有心运动时，机械能守恒（有心力是保守 力，质点在保守力的作用下运动，只发生势能和动 能的相互转化，总的机械能保持恒定）
dL
M
dt
E T V
• 有心运动的运动方程
– 在平面极坐标系下面考虑有心运动，则质点的动量 矩（角动量）与极坐标平面垂直，质点运动微分方 程为：
p
mh2 p
u2
mh2 p
1 r2
§2.2 距离平方反比引力下的质点运动
•
距离平方反比引力形式
k 2 GMm
F
k2 r2
er
er
作变量代换 u 1 r
F(r) F(u) k 2u2
d 2u
d 2
u
k2 mh2
mh2u2 ( d 2u u) F (u)
d 2
d2
d 2
(u
k2 mh2
第二章：有心运动
• §2.1 有心力和有心运动
– 如果运动质点受到的力及其作用先总是通过 惯性系中的某一固定点，这样的力(场)叫做 有心力（场），力所指向或背向的固定点叫 做力心，指向力心的有心力叫做引力，背向 力心的是斥力。
– 有心力的量值，一般只是力心与质点间距离 r 的函数，在有心力作用下质点的运动叫做 有心运动。
m(r r2 ) Fr F (r) (1) m(r 2r) F 0 (2)
注意到关系式 r 2r 1 d (r 2)
r dt
因而有
d (r 2) 0
dt
其对应的积分为 r 2 h
又
L
mm rrLe20rkk(rrermrve
)
mr 2(er
e
)
因而有
r 2 L0 h
m
h 为单位质量具有的角动量, 是一个守恒量
• 例题：已知一行星在有心力场中运行的轨道为圆锥曲
线 r p /(1 ，e co其s中)p为半正焦弦，e为偏心率，极轴
沿椭圆长轴方向，试用Binet 公式求出行星所受到的 力。
解：由 Binet 公式可得
u 1 u 1 e cos
r
p
则行星所受的力为：
F
mh2u2
e cos
p
1 e cos
)
(u
k2 mh2
)
u
1 r
k2 mh2
A cos(
0 )
mh2
r
k2 mh2
1
A cos(
0 )
1
mh2 k2
k2
A cos(
0 )
如果令
p
mh2 k2
e
mh2 k2
A
则可得 r
p
1 e cos( 0 )
令 0 0
r p
1 e cos
• 轨道的特性
r p
1 e cos
在近日点 0
r p
θ
1 e
在远日点
r p 1 e
在近日点和远日点处，质点离开力心的距离取极值， 可以得到在此两处质点的径向速度为0
取无穷远处为势能零点，则可得质点所具有的势能
为：
V
(r)
r
F (r)dr
r
k2 r2
dr
k2 r
有心力是保守力，质点在运动过程中，其总的机械
能守恒
E
T
V
1 2
m(rm)2
k2 rm