分类号密级U D C 编号本科毕业论文(设计)题目分块矩阵的若干性质及其应用学院数学与经济学院专业名称应用统计学年级学生姓名2017 年 4 月文献综述一、概述矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。
分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。
二、正文通过阅读居余马著作的《线性代数》一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。
但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。
林瑾瑜在《分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用》中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。
蔡铭晶在《例说分块矩阵的应用》中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行列式、证明矩阵的秩、解决矩阵的特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。
利用分块矩阵可以使阶数比较高、比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。
徐天保在《分块矩阵的应用》中，主要证明了分块矩阵在高等代数中的应用，包括用分块矩阵求矩阵的行列式问题，讨论了分块矩阵与秩的关系，用分块矩阵求逆矩阵问题，对分块矩阵的若干性质进行了总结和推广。
胡景明在《分块矩阵在求高阶行列式中的应用》中，介绍了几个利用分块矩阵求解高阶行列式的方法。
此方法的主要手段是将高阶行列式通过矩阵分块的方法来达到降阶的目的，从而简化高阶行列式的运算。
这些都是他们关于分块矩阵的性质和应用这个课题探究的理论成果。
他们每个人都有自己的研究点和研究方向，他们的研究有他们的优点，同时也有他们的欠缺之处。
分块矩阵的若干性质的探究及其矩阵分块不仅是一种解题方法，更是一种技巧，我们必须掌握并应用于现实生活中，但它的应用范围非常广，远远不止于专家们所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。
三、总结通过上面对矩阵的历史以及现状的了解，我们发现矩阵还是很容易理解和掌握的。
然而，矩阵在实际应用中还会遇到很多问题。
在实际生活中，我们的很多问题可以用矩阵抽象的描述出来，但是这些矩阵一般都是高阶矩阵，行数和列数都是一个相当大的数字，因此，我们在计算和证明这些矩阵时，会遇到很多很繁琐的任务。
这时，我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好地解决，而分块矩阵能够形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构，从而能充分体现出分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的优越性。
既然分块矩阵理论的应用如此广泛，因而即使矩阵理论的研究已相当成熟，我们仍有必要深入体会分块矩阵的应用技巧，归纳总结分块矩阵在不同类型题目当中发挥出的巨大应用。
四、参考文献[1]居余马.线性代数[M].清华大学出版社,1992.[2]穆大禄，裴惠生.高等代数教程[M].山东大学出版社,1900.[3]蔡鸣晶.例说分块矩阵的应用[J].南京信息职业技术学院(读与写杂志),2014.4，11(04);52—53.[4]林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其应用[J].广东广播电视大学报,2006,(02):109—112.[5]张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第四版）[M].北京：人民教育出版社,1995:199—208.[6]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社.2001.[7]胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中应用[J].河北工程技术高等专科学校学报，2004,(4):50—53.[8]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版）,2010,(05)：106—109.[9]刘红旭.利用分块矩阵求解非齐次线性方程组.辽宁师专学报,2003.6.[10]乔占科.矩阵分块方法的应用[J].高等数学研究,2010,13(1):89—90.[11]秦小二.分块矩阵的几种用法[J].数学教学与研究,2007,41 (2) :68—69.摘要：本文主要探究了高阶矩阵降阶的分块方法、分块矩阵的运算性质、分块矩阵的初等变换以及由分块矩阵的若干性质得出一些推论等，并举例说明了分块矩阵在现实生活中的应用，分析了分块矩阵在求取矩阵的逆、计算行列式，在证明矩阵的秩的性质上的问题以及在求解非齐次线性方程组中的应用。
在数学上，矩阵就是由若干个方程所组成的方程组的系数以及常数所构成的方阵，把矩阵用在解线性方程组的问题上，运用起来既方便又直观。
分块矩阵的若干性质及其应用又是高等代数中的一个重要的内容，是解决行列式计算问题的一个很重要的工具，不仅仅只是针对行列式得运算，更为重要的是，解决各种数学问题都要会用到它，特别是在处理级数比较高的矩阵时候，将高阶的矩阵分块降阶之后，能使各子矩阵块或者使高阶矩阵的内部各元素之间的关系变得更清晰明了。
为解决一些高阶矩阵问题的需要，适当地对高阶矩阵进行分块，从而把一个复杂的矩阵简化成由一些小矩阵块为元素组成，这样就可以使高阶矩阵的结构看得更加清晰，解题的脉络也就更加一目了然，从而使得复杂的高等代数的问题简单化，我们利用矩阵也就更加便捷了。
关键词：分块矩阵初等变换行列式运算性质应用Abstract: this paper mainly explores the reduced order of high-order matrix partition method, the property of the partitioned matrix operation, the elementary transformation of partitioned matrix and the partitioned matrix of some properties to draw some inferences, etc., and illustrates the partitioned matrix in real life, the application of partitioned matrix is analyzed in calculating matrix inverse, calculating the determinant, the proof of matrix rank on the nature of the problem and its application in solving the non-homogeneous linear equations. In mathematics, the equations of the matrix is composed of a number of equations of coefficients and constants of square, the matrix on the problem of solving linear equations, convenient to use and intuitive. Some properties and applications of partitioned matrix is an important content of higher algebra, is a very important to solve the problem of the determinant calculation tool, not only for determinant computing, even more important, various mathematical problems is to use it, especially in dealing with the matrix series is higher, the high-order matrix block after the order reduction, can make each matrix to block or make high order matrix of the relationship between the internal elements become more clear. For the need to solve the problem of some high order matrix, appropriately to block of high order matrix, thus a complex matrix is simplified into a small matrix for elements, so that you can make the high-order matrix structure more clear, the problem solving context is more obvious, so as to make the complex problem of higher algebra simplification, we make use of the matrix is more convenient.Keywords: Partitioned matrix elementary transformation The determinantOperation properties application目录1.分块矩阵的概念及性质 (1)1.1分块矩阵的定义 (1)1.2分块矩阵常见的分块方法 (1)1.3分块矩阵的运算性质 (3)1.3.1分块矩阵的加法 (3)1.3.2分块矩阵的数量乘法 (3)1.3.3分块矩阵的乘法 (6)1.3.4分块矩阵的转置 (3)1.3.5分块矩阵的初等变换 (7)2.分块矩阵的应用 (9)2.1利用分块矩阵求矩阵的逆 (9)2.2利用分块矩阵简化高阶行列式的计算 (11)2.3分块矩阵在证明矩阵的秩的性质上的应用 (13)2.4分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用 (15)2.5分块矩阵在求解非齐次线性方程组上的应用 (17)3.全文总结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)1、分块矩阵的概念及性质1.1 分块矩阵的定义定义：把一个m n ⨯矩阵A ，在矩阵A 行的方向分成s 块，在矩阵A 列的方向分成t 块，称为矩阵A 的t s ⨯分块矩阵，记作[]k l s t A A ⨯⨯=，其中(1,2,...,;1,2,...,)k l A k s l t ⨯==称为A 的子矩阵块，它们分别是各种类型的小矩阵。