解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用
摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有具足轻重的地位。矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系。本文先阐述了三种关系相关的定义、定理，并进行比较得出三种关系间的区别，结合实例具体体现三种关系的差别与应用。
关键词：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同
引言
随着技术的发展，矩阵在实际生产中发挥着越来越明显的作用，尤其是矩阵所具有的特点以及特有的变化方式，受到各行的重视。
在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系。本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致，还有矩阵的相似与合同之等价条件，并给出例子加以说明。
一、矩阵的三种关系
1）矩阵的等价关系
定义：两个S ×n 矩阵A ，B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。
由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备两个条件：
（1）矩阵A 与B 为同型矩阵，不要求是方阵；
（2）存在存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。 性质：
（1）反身性：即A ≌A ；
（2）对称性：若A ≌B ，则B ≌A ；
（3）传递性：即若A ≌B ，B ≌C 则A ≌C ；
2）矩阵的合同关系
定义：设A ，B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆方阵P ，使得B AP P ='则称矩阵A 与B 为合同矩阵（若若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：
（1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。
（2）存在数域p 上的n 阶矩阵P ，B AP P ='。
性质：
（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同。
（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同。
（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同。
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得，合同矩阵的秩相等。
3）矩阵的相似关系
定义：设A ，B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1，则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）。
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似必须同时具备两个条件：
（1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。
（2）在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1。
性质：
（1）反身性：A AE E T =；
（2）对称性：由AC C B T =即得()11--=BC C A T ；
（3）传递性：111AC C A T =和222AC C A T =即得()()21212C C A C C A T
=。 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的。
（4）()P A P k P A P k P A k A k P 21211122111---+=+（其中错误！未找到引用源。，2k 是任意常数)；
（5）()()()P A P P A P P A A P 2111211---=；
（6）若A 与B 相似，则m A 错误！未找到引用源。与m B 相似（m 为正整数）；
（7）相似矩阵有相同的秩，而且如果错误！未找到引用源。B AP P =-1为满秩矩阵，那么()P A P AP P B 11111-----==。
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似。
（8）相似的矩阵有相同的行列式。
（9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆，并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似。
设B AP P =-1，若B 可逆，则()P A P AP P B 11111-----==，从而A 可逆，且1-B 与1-A 相似，若B 不可逆，则()
AP P 1-不可逆，即A 也不可逆。
除了他们各自定义所决定的性质外，这三种关系还具备着各自特定的性质，以及三种关系彼此间的联系。
二、相关定理
由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系。
定理1 若A 为m ×n 矩阵，且r (A )=r ，则一定存在可逆矩阵P (m 阶)和Q
（n 阶)， 使得B I PAQ n
m r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯000，其中错误！未找到引用源。为r 阶单位矩阵。
推论1 设A ，B 是两m ×n 矩阵，则A ≌B 当且仅当r (A )=r (B ）。
定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同。
定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：
2232221r y y y y f ++++=
定理4 相似矩阵的特征值相同。
推论2 相似矩阵有相同的迹。
以上为三种关系各自的特点，以下是阐述三种关系彼此间的联系的定理。
定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵。
定理6 对于n 阶方阵A ，B ，若存在n 阶可逆矩阵P ，Q ，使PAQ =B (即A 与B 等价)，且PQ =E (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似。
定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵。
定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵。
但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系，另外，在一定条件下，两者是等价的，若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的，对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理：
定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根，则A 与B 既相似又合同。
定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同。
定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有错误！未找到
引用源。与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛D B 00既相似又合同。
通过以上的介绍，对于矩阵的三种关系有了一定的了解，一下再将这三种关系做对比，从而进一步了解矩阵最重要的这三种关系。
三、矩阵的等价、相似、合同之间的联系与差别
1、矩阵等价
A 、同型矩阵而言；
B 、一般与初等变换有关；