元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如 a ij i j , i , j 1 , 2 , 3 . 则
0 1 2 A 1 0 1
2 1 0
例如
13 6 2 2 2 2
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个
24实矩阵,
2 i 2 2
是一个
1
33复矩阵,
2 4
是一个 31矩阵,
2359
《线性代数》知个识知识 篇点 五内在联: 系图
线性方程组 求解为核心
行列式
矩阵 一 一 对 应
矩阵运算
一 为主线 一 对
应
线性方程组 一 一 对 应 向量组
特征问题与二次型
核心
aa1211xx11aa1222xx22bb12
a11x1 a12x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2x2
a n
思考题
一维 1矩 是阵 否 等 1？于数
思考题解答
是的！
1 0 0 0
矩阵B
0
1
0
0
是对角阵。 答:错.
0 0 1 0
矩阵棣属关系: 单位阵 数量阵 对角阵 三角阵
（4）既是上三角又是 矩下 阵三 的角 方阵，即
形如
1 0
0 2
O
0 0
的方阵,
称为对角矩阵
(或对角阵）.
0 O0 n
记作 A d[ i1 ,a 2 , g ,n ].
(5) 数(纯)量矩阵（标量矩阵）
a 0 0 0
称对角线元相等的对角 矩阵
0
a
0
0
为数量矩阵或标量阵。
0 0 0 a
当 a1时，记作 1
I
In
0
0 1
0
O0
0
O
0
1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.有时也记作E.
（6）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n零
矩阵记作 Omn或 O.
注意 不同阶数的零矩阵是不“相等”的.
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
00""0
0
0
0.
0 0 0 0
则称矩阵 A与B相等,记作 AB.
例1 设 A 123 , 312
B 1x3 , y 1z
已 A 知 B ,求 x ,y ,z . 解 AB,
x 2 ,y 3 ,z 2 .
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am1 amn
的解取决于
系数 a iji,j 1 ,2 , ,n ,
常数项 b ii1 ,2, ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
线性变换
xy11 scion sxxcsion syy,.
线性代数及其应用
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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教材:线性代数及其应用 主编 刘剑平 华东理工大学出版社
参考教材: 线性代数精析与精练 主编 刘剑平 华东理工大学出版社
O (2) 特殊矩阵
方阵
mn;
上（下）三角阵
a011aa
11 21
a a
12 0 22a 22
0 a n1
0
a
n
2
a 1 n 0
a 2 n 0
a
nna
nn
单位矩阵; 1
对角矩阵;
0
零矩阵. 0
行矩阵与列矩阵;
A 10000 2 Ba 1001 ,a 2 ,aa00 n12 ,100,a n .,
是一个 14矩阵,
4 是一个 11矩阵.
几种特殊矩阵
(1)行数和列n数 的都 矩 A,等 阵 称 于 n 为 阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 6 2 i 2 2 2
副(反)对角线 是一个3 阶方阵.
2 2 2 主对角线
(2)只有一行元素的矩阵
A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
对应
cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P 1x1,y1
Px,y
O
X
二、矩阵的定义
由 mn个数 a i j i 1 , 2 , ,m ; j 1 , 2 , ,n
排成的 m行 n列的元数表
a11 a12 a1n
a 21 a 22 a 2 n
a m 1 a m 2 a mn
只有一列元素的矩阵
a 1
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
a n
a11 a12
（3） 形如 00 Oa022
a1n
a
2
n
即主对角线以
a nn
全为零的方阵称为上三角矩阵。
a11
形如 a21
0
a 22
0
O0
即主对角线以上元
a n1 a n 2 a nn
全为零的方阵称为下三角矩阵。
a1nxn b1 a2nxn b2
amnxn bm
第一章 矩阵
第一节 矩阵
一、 矩阵概念的引入 二、 矩阵的定义
三 、 小 结 、 思 考 题
一、矩阵概念的引入
a11x1 a12x2 a1nxn b1 1. 线性方程组 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1x1 an2x2 annxn bn
历史背景 代数由费马和笛卡尔的工作产生于17世纪 关孝和或莱布尼兹引入行列式,雅可比和范德蒙发展 詹姆斯或凯莱引入矩阵 克莱姆,高斯,若当引入方程组 1859 (清朝)李善兰翻译成“代数学” 我国九章算术中有一章方程
线性代数课程在高等工业 学校的教学计划中是一门重要 的基础理论课，也是考研究生 的必考课程，尤其在计算机高 速发展的今天，更显示出其重 要性和应用性。
称为 m n 维矩阵.简称m n矩阵.记作
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵 A的
m , n 元
简记为 A A m n a ij m n a i. j
这 m n个数 A 的 称元 ,为 简素 称 (ai为 j 代 元. 表
Hale Waihona Puke 元素是实数的矩阵称为实矩阵,
同维矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 维矩阵.
例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同维矩阵.
3 7 3 9
2..两个矩阵 A aij与 B b ij为同维矩阵,并
且对应元素相等,即
a i jb i i j 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,