k=-25时, 两平行线间的距离 即是 椭 圆 上 点 到 直 线 l 的 最 长 距 离 且 dmax = 65 √41 . 41 解法二 （导数法） ： 由 y=3 x y ﹢ =1 解 得 y=±3 25 9
2 2
4×5sinθ-5×3cosθ﹢40 25sin(θ-φ) ﹢40 √41 √42﹢52 ,其中tanφ= 3 . 4
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（中等教育） 数学教学通讯
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一道课本例题的多角度探析
—圆锥曲线到直线距离的最值问题 ——
郭玉红 浙江湖州市练市中学 313003
中 此类试题源于课本的一道例题,因此本文全方位﹑多角度探究这道课本例题,从而破解高考难点. 等 教 育 关键词：圆锥曲线；最值问题；一题多解；多题一解
则 m =1, n =25,m• n =4x -5y. 根据 向 量数量积性质不等式 m • n ≤ m 取等 号, 此 时 x=4,y=所以dmax= n , 所以 4x-5y ≤25, 当且仅当9x=-20y时
( 5x , 3y ) ,n=(20,-15),
√ 3 sinθ,所以b﹢2a= √ c cosθ﹢ π √3c sinθ=2 √ c sin ( θ﹢ ) . 6
著名数学 家 华罗 庚 提到 ：“ 善 于 退,
把握根本 襛 反思回顾、
们总是成群生长的. ” 本人通过探究近 题1 （2011浙江文） 若实数x,y满足 . .
最 大 值 时 y=0, 所 以 2a= √ c ,b = √ c . 解法二 （三角换元法） ： cosθ, √ 3 a= √ c sinθ, 所 以 b= √ c · cosθ﹢ 因为 (b-a) ﹢3a =c , 令b -a= √ c •
令 2a=x ﹢y,b =x -y, 代 入 方 程 4a 2
或做出第一个发 现 后, 再 四 处 看看 , 它 年高考试题,得到更具一般性的结论.
波 利 亚 说 ：“ 当 你 找 到 第 一 个 蘑菇
更上一层 襛 题型推广、
2ab ﹢b 2=c , 化 简 得 x2﹢3y2 =c , 标 准 的 椭 圆 以 2a﹢b 取得最大值2 √ c ,并且x取得 从而 1 2 4 ﹢ ﹢ 最小值是-1. a b c
=
解法一 （数形结合法） ：
精彩纷呈 襛 一题多解、
相切,并设其直线方程是4x-5y﹢k=0. 联 立方程4x-5y﹢k=0和 x2 y 2 ﹢ =1, 消去y得 25 9
2 2
如 图 1 所 示, 设 直线 m∥l且 与 椭 圆
解 得 x=-4, 此 时 y=
√
1-
x2 -3x 4 时 ,y＇ = , 令 y＇ = 2 25 5 5 √25-x
( 4,- 9 ) 到直线l的距离最长, 可得d 5
65 √41 . 41 解法三 （参数方程法） ：
x2 y2 ﹢ =1,化 简 得 25x2-8tx﹢t2-225=0, 25 9
=
关 于 x的 一 元二次方 程有实 数 根, 所 以 △≥0,解得 t ≤25. 当 t=25 时 ,dmax = 时,dmin= 15 √41 . 41 x2 y2 ﹢ =1, 25 9 65 √41 ； 当 t=-25 41
F1
O
F2
m
x
x2 y2 因 为 ﹢ =1, 所 以 x =5sinθ,y = 25 9 3cosθ) 到 直线 l：4x -5y﹢40=0 的 距离 d= 3cosθ,θ∈[0,2π),从而椭圆上点(5sinθ,
解法五 （向量法） ： 设 P(x,y) 满 足 椭 圆 方 程
图1
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从有 效解题的角度 , 探究试 题的 本
探究本质 襛 抽丝剥茧、
分析: 此题可以转化为 ： 已知4a22ab﹢b 2=c ,求2a﹢b 取最大 值 时 a,b ,c 的 等 式关系. 题 本 质 上可 归 结 于 如 下 类型 ： 设 x,y ∈
2 2
值2 √ c ,此时c=4a2,b=2a.
可以归结为如 下题 型： 以 二 元二 次方 程
（其中 a， c， d∈R ﹢， b， m， n ∈R） . 事实 上, 二元二次方程A x2﹢Bxy﹢Cy2﹢Dx﹢Ey﹢F=0 所表示的是圆锥曲 线 （包括 退 化 的圆锥
R, 满 足 ax ﹢bxy﹢cy =d, 求 mx﹢ny 的 最 值
备 课的 教 师能 够 拿 出 一 个 有 意 义 但 不
x2﹢y2﹢xy=1,则x﹢y的最大值是
4x2﹢y2﹢xy=1,则2x﹢y的最大值是
题2 （2011浙江理） 若实数x,y满足 题3 （2011新课标） 在△A BC中,B=
60°,A C= √ 3 , 则 A B﹢2BC 的 最 大 值 为
√
c sinθ, 3
例习题,力求使 学 生对 基础 知 识 融会 贯 通,洞悉来龙去脉, 实现做 一题 , 会一 片 的效果！
y l m
一 个 实 数 根 , 令 △ =64k -4 ×25 得 dmin= y=-3
( -4, 9 ) 到直线l的距离最短,根据点到 5
4 9 解得 x=4, 此 时y=- , 则 椭 圆上 的 点 5 5
max
9 , 则椭圆上的点 5
设 P(x,y) 满 足 椭 圆 方 程
摘 要：近年高考压轴填空题常常出现多元最值问题,这类试题灵活多变,形式新颖,学生难以掌握. 事实上,
x2 y2 与方程》第47页例7是：已知椭圆 ﹢ = 25 9 1, 直 线 l：4x -5y﹢40=0, 椭圆上是 否 存 在 是多少？ 最大距离又是多少？ 一点,它到直线l的距离最小？ 最小距离
人教版选修 2-1 第二 章 《圆 锥曲 线
由 以上 分 析 可 知 ,上 述 五 道 最值 问
由题意得 (b-a)2﹢3a2=c , 构造向量 m=(b-a, √ 3 a),n=(1, √ 3 ),所以 m = • n=b﹢2a. √ c , n =2,m 因为 m • n ≤ m n ,
为限制条件,求二元一 次式 的 最 值 ,如 ： 设x,y∈R,满足ax2﹢by2=c , 求 mx﹢ny 的 最 值 （其中a， b， c ∈R﹢， m， n∈R） . 波 利 亚 曾 说 过 ：“ 一 个 专 心 的认 真
是
9 9 或 x=-4,y= , 5 5
65 √41 15 41 ,dmin= √ . 41 41
非零实数a,b 满足4a2-2ab﹢b 2-c=0, 且使 2a﹢b 最大时, . 1 2 4 ﹢ ﹢ 的最小值为 a b c
题 5 （2014年 辽宁 文） 对 于 c>0, 当
质, 能让我们收获更多. 上述课本例题
2 2
方程, 显然xmax= √ c . 因为b﹢2a=2x,所
足够的退,退 到 最 原始 而不失 重 要性 的 地方, 是学好数学的一个诀窍. ” 所谓 “退”,就是把一个较 复杂 的问 题 “ 退 ”到 最 原 始 、 最 简 单 的 问 题 , 再 以这些 问 题 为出发点,去解决问题,接受新知. 张奠 宙先生也提出 “ 在 坚实的 基础上 有所 发 展”的 教学理念,因此 作为 教 师 , 要帮 助 学生注重基础 , 全 方位 多角度探析课 本
页例7可以认为是上 述 高考 试 题的 “题
系,作为教师,要对 典型 例 题 深 入挖掘 , 解,力求使学生对所学知识融会贯通.
根”,因篇幅有限,以题 5为例 探究 “非 标 解法.
揭示例题 背后的思 想方 法 , 注重 一题多
准的圆锥曲线”到 直 线距离 最 值 问 题的 解法一 （数形结合法） ：
a= c 当θ= π 时, 2a﹢b 取得最大值2 √ c , 3 c 此时a= √ ,b= √ c . 2 解法三 （判别式法） ： 令 t=2a﹢b , 则 b =t -2a, 代 入 4a2-2ab ﹢ b 2-c=0,得12a2-6ta﹢t2-c=0,关于a的一元 二次方程有实 数解 ,则 应 满 足 △ =(6t)248 ( t2 - c ) ≥ 0 , 即 t ≤ 2 √ c , 所 以 2a﹢b ≤2 √ c , 从而 2a﹢b 取得最 大 解法四 （向量法） ：
太负载的题目 ,帮 助 学 生 发 掘问 题的 各 域. ”上述例题恰恰就是这样一道“有意 解析几 何 、 导 数 、 三 角 、 向 量 、 函 数 等 高 个方面,把学生 引入一 个 完整的理 论 领
曲线） ,经左右、上 下 平 移变 换 总能 得 到
n方向相同或相反时取等号,此时c=4a2, b=2a. 上 述 课 本例 题 与 高考 试 题在解 法 上有着异曲同 工 之 妙 ,可 见 透 析 数学 问 题背后的本 质是 破 除题海 最 有 力 、最 有 效的武器, 因 此 在 教与学 的 过 程 中 ,必 可破万题山”的境界. 须 切 实 加 强 回 顾与 反 思 , 以 达到 “ 一题
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则 P 到 直 线 l：4x -5y ﹢40 =0 的 距 离 d = 4x-5y﹢40 的最值问题. 构造向量m= √42﹢52 , 因此此题转化为求4x-5y
. 分析: 由余弦定理可知a2﹢c 2-ac=3, 求2a﹢c 的最大值. 满足a﹢b﹢c=0,a2﹢b 2﹢c 2=1, 则a的最大值 . 分析 : 由 c =-a-b 代 入 a2﹢b 2﹢c 2=1 得 a2﹢b 2﹢ab= 1 ,求a的最大值. 2 题4 （2014浙江文） 已知实数a,b ,c
√1- 25 , 当
x
2
15 √41 ； 41
显 然 当 sin (θ -φ) =-1 时 ,dmin =
当sin(θ-φ)=1时,dmax= 解法四 （判别式法） ：
65 √41 . 41 x2 y2 ﹢ =1, 25 9