s''
X a' b' a
s
b
O
Y
c' a'' (c'') b& b' a
s
b
y2
c' a'' (c'') b''
y1
y2
y1
c
从本章开始，在投影图中将省略投影轴，省略投影轴 后三面投影之间的投影关系不变。利用各点之间的相对 距离来确定立体上各点的位置。
8
（2）正五棱柱的投影
a' e' b' d' c'
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面立体的形状及截平面对平面立体的 截切位置。
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 •求截交线的实质是求两平面的交线，或者说是求棱
线与截平面的交点。
27
2. 平面截切立体的画图 关键是正确地画出截交线的投影。
28
例1 画出截切五棱柱的三面投影
分别为圆锥面不同方向的
两条转向轮廓线的投影。
s
⑶ 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断
●s
15
3.圆球
⑴ 圆球的形成 圆母线以它的直
径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的投影
三个投影分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向转向轮廓线的投影。
⑶ 轮廓线的投影与曲 面可见性的判断
16
3.圆环
3)在平面立体的每一投影中，若外形轮廓线内的两 可见表面相交，其交线为可见(其中有一个表面可 见则交线可见)，两不可见表面的交线为不可见。
10
3.平面立体表面上的点、线 (1)棱柱表面上取点
点的可见性规定： 若点所在的平面的投
影可见，点的投影也可见； 若平面的投影积聚成直线， 点的投影也认为是可见的。
⑵ 圆柱体的投影 圆柱面的水平投影积聚成
一个圆，在另两个投影上分别 以两个方向的转向轮廓线的投 影表示。 ⑶ 转向轮廓线线的投影与曲面的
可见性的判断 14
2.圆锥体 ⑴ 圆锥体的组成
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆锥体的投影
在图示位置，水平投影
s●
为一圆。另两个投影为等
腰三角形，三角形的底边
为圆锥底面的投影，两腰
s● k(n)
●s ●(n)
k
SO
●
A O1
ns●
k
过锥顶作一条素线。★辅助直线法
圆的半径？
★辅助圆法
21
例4：已知圆锥面上曲线的正面投影，求曲线的其它 两面投影。
a' d'
c' e' b'
(a'') (d'')
c'' e'' b''
a be c d
22
3.圆球表面上的点、线
B A
b a (c)
17
2）圆环的画法
18
(一)曲面立体表面上的点、线 1.圆柱表面上的点、线
a
a
O A
O1 A1
利用投影的积聚性
a
19
例3：已知圆柱面上曲线的正面投影，求曲线的其它 两面投影。
b'
f' e' c' d'
a'
(b'') (f '')
(e'') c'' d''
a''
b
a
f
dc e
20
2.圆锥表面上的点、线
1)圆环的形成
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内， 但不通过圆心的轴线旋转而成。
首先用细点画线画出轴线及母线圆中心轨迹圆的投 影和中心线。
其水平投影应画出圆环面的水平投影转向线的投影。 其正面投影和侧面投影，应分别画出正面投影和侧面投影 转向线的投影。
对于正面投影和侧面投影而言，由于内半环面被外半环 面所挡，内半环的半个母线圆的投影应画成虚线。
y1 y2
a(a1) b(b1)
a(a1)
c(c1)
b(b1)
作图时，先画出反映顶面、底面实形的水平投影，再画它们的
正面和侧面投影，最后画出各侧棱的正面和侧面投影。
9
2.平面立体投影的可见性判别
1) 在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是 可见的。
2) 在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的交叉 直线，可利用重影点来判别可见性。
第二章 立体的投影
1
本章内容：
第一节 基本立体的投影 第二节 平面与立体相交 第三节 两曲面立体相交
2
第一节 基本立体的投影
3
概述
任何立体都可以看作是由平面、曲面 所围成的。按其表面的几何性质不同，立体 可分为平面立体和曲面立体两类。
4
常见的平面立体：
棱柱
常见的曲面立体：
圆柱
圆球
棱锥
圆锥
圆环
a (b)
b
由于棱柱的表面都
a
是平面，所以在棱柱的
表面上取点与在平面上
取点的方法相同。
a b
11
(2)棱锥表面上取点
例1 已知三棱锥S-ABC及属于其表面上的点K的正面投影k
求其水平投影k和侧面投影k
s'
s''
不可见
S
K A
C B
k'
(k'')
a''
a'
b' 1' c' (c'')(1'')
5
一、平面立体 1.平面立体的投影 平面立体的投影是平面立体各表面 投影的集合---由直线段组成的封闭图 形。
6
（1）三棱锥的投影
V
s'
Z
S
s''
X a' A
W
O a''
HB
(c'')
C
b''
Y
s'
X a' b' a s b
Z s''
O
Y
c' a'' (c'') b''
c Y
7
s'
Z
s''
s'
b''
a
c
s k1
分析：同样采用平面上取点法。
b
12
例2 已知三棱锥S-ABC及属于其表面上的线段KL的正面投影kl
求其他两面投影。
s'
s''
l'
(k'')
k' (l'')
a''
a'
b' 1' c' (c'')(1'')
b''
a
c
s k1
l
b
13
二、曲面立体
(一)曲面立体的投影 1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两底面组成。
a''(c'')
c' d' b' e' a'
DC E
b1' e1' a1'
A E1
(d1'')
B e1''
(e1'')
a1''
C1
b1''
X
A1 e(e1)
B1 c(c1)
Y
a1' e1' b1' d1' c1' e(e1) d(d1)
e1'' (d1'') a1'' (c1'') b1'' y1
y2
(C)
方法：辅助圆法 注意：可见性的判断
(c) b
a
(b) a c
23
第二节 平面与立体相交
24
一、概述 截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
•截平面 —— 截切物体的平面
•截交线 —— 截平面与物体表
面的交线
截断面
•截断面 —— 截交线所围成的图形 I P
讨论的问题：截交线的分析和作图 A
S
截平面 III 截交线
II C
B
25
截交线的性质：
➢截交线是截平面与立体表面的交集，是共有线。 截交线上的点、线，属于两者的共有点、线。 ➢截交线所围成的为封闭的平面图形。
求截交线的问题，实质上就是求平面与立体表 面的共有点、线的问题。可用求线面交点的方法， 或用求两面交线的方法来解题。
26
二、 平面与平面立体相交 1.平面截切的基本形式