x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
x3 2
1 1 1 2 1 2 r3 0 3 2 2 0 0 1 2
(1)-2×(3)，(2)+2×(3)
得
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
(5)-(4) 得
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个
未知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组
。 精品课件
x1 x2 2x3 1 (2)
3x2 2x3 2
(4)
2x3 4 (6)
(3)-(2) 得
x1 x2 2 x3 1
3x2 2 x3 2
2 x3 4
（阶梯形方程组）
(-1/2)×(3) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
1 1 2 1
r3 r 2 0 3 2
2
0 0 2 4
（行阶梯形矩阵）
精品课件
x1 x2 2 x3 1
， (-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
精品课件
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的
算术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方 程组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去， 直至得到便于求解的一个形式简单的方程。
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对于一般的线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22x2 L LLLL
a2n xn LLLL
b2 L
am1x1 am2x2 L amn xn bm
a11 a12 L a1n
A
a21
a22
L
a2n
M M M M
a
m1
am2
L
amn
a21 am1
a22 am2
的线性运算（重要的工具）。
a1n
a2n
amn
精品课件
§1 线性方程组的消元解 法 对二元一次方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。
例1 求解线性方程组
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：方程组的增广矩阵
2 1 2 4
A
1
1
2
1
4 1 4 2
精品课件
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
2
A
1
1 1
2 2
4
1
4x1 x2 4x3 2 (3)
(-1/3)×(2) 得
精品课件
x1 x2 3
3x2
6
x3 2
(-1/3)×(2)
得
x1 x2
x2
3 2 x3 2
(1)-(2) 得
r1 2r3 1 1 0 3
0 3 0
6
r2 2r3 0 0 1 2
1 3
r2
1 0
1 1
0 0
3 2
将方程组的形式变的简单易求，且新方程组与 原方程组是同解方程组。 用消元法求解线性方程组的实质
对方程组施行一系列同解的初等变换，将它逐 步化简以求其解。
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经初等变换求解线性方程组的这一思路，反映 了一般线性方程组的求解规律。
思考：方程组的解和未知量符号有没有关系
？那和什么有关呢？
没有
和未知量的系数以及右端的常数项有关！
其中有 n 个未知量x1,x2,L ,xn
，a mij 个R方程，
(i 1 ,L,m ;j 1 ,L,n )是未知量的系数，b1,L ,bmR
是常数项。
若右端常数项 b1,b2,L ,bm均为零，则称方程组为 齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。
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将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？ 研究的思路和途径
A
1
1
2
(1)
4 1 4
此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。
2 1 2 4
加上常数项得数表
A
1
1
2
1
(2)
4 1 4 2
定义1
称上述矩形表为矩阵，横的
排称为行，竖的排称为列，其中的数称为矩阵的元
素。
矩阵(1)称为方程组的系数A 矩. 阵，记为A，矩阵
(2)称为方程组的增广矩阵，记为
x32 (7)
最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3，
由2×(7)+(4) 得
3x26 (8)
精品课件
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
4x1 x2 4x3 2
(1) (2) (3)
x32 (7) 3x26 (8)
由(-1/3)×(8) 得
x22 (9) 将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, 由x3
问题：在用初等变换求解方程组时，本质上 是对什么在运算？什么在变化？
未知量的系数以及右端的常数项！
基于此，在解题时可将未知量舍去不写；此时
就出现了由未知量系数以及右端常数项组成的数表
：
精品课件
2 x1 x1
x2 x2
2 x3 2 x3
4 1
4 x1 x 2 4 x3 2
2 1 2
4 x1 x 2 4 x3 2
1 1 2 1
r1
r2
2
1
2
4
4 1 4 2
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
x13xx2222xx3312 3x2 4x3 2
(3)-(2) 得
r2 2r1 1 1 2 1
0 3 2
2
r3 4r1 0 3 4 2
精品课件
x13xx2222xx3312 3x2 4x3 2
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1，
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
精品课件
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
x3 2 (7)
第五步，消去(2)(4)中的 (x23，)-2×(7)，
(4)+2×(7)
x1 x2
3x2
3 (8) 6 (9)
x3 2 (7)
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为(1-1/3)×(9)
，
得
精品课件
x1 x2 3 (8)
3x2
6 (9)
x3 2 (7)
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的 求解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤 。
精品课件
例1 求解线性方程组
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的
位置
12xx11
x2 x2
2x3 2x3
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
精品课件
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才 形成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解， 在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中， 已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
x1 x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，
(5)-(4) 得
精品课件
x1 x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2，
第六步，使(9)中的 x2 的系数变为(1-1/3)×(9)
，
得
x1 x2
x2
3 (8) 2 (10)
x3 2 (7)
第七步，消去(8)中的x(28，)-(10) 得
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x1 x2 3 (8)
x2 2 (10)
x3 2 (7)
第七步，消去(8)中的x(28，)-(10) 得
x(1-，2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
33xx2242xx3322
(4) (5)
该方程组比原方程组少一个未知量。
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33xx2242xx3322
(4) (5)
其次，用(4)消去(5)中的未知量 由x2(，5)-(4) 得
2x34 (6)
这比原方程组又少了一个未知量。
由(-1/2)×(6) 得
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本节的主要内容
1、线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La2L1x1L