FP 结点
1,2,3 ----结构结点编码（总码） (1,2,3) ----结点位移编码
1 2 ----杆端结点编码（局码）
1 2 ----单元编码
1
1
3(5,6)FP
2 2
2
1
1(1,2)
2(3,4)
单元方向 1 2
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第六章 矩阵位移法 §6-2 单元刚度方程
建立单元的结点力和结点位移之间关系的过 程称单元分析，形成的方程称单元刚度方程。
6EI l2 2 EI l
12EI l3
6EI l2 12 EI l3
6EI l2
6 EI l2 2 EI l
6EI l2 4 EI l
1 2 3 4
e
刚度方程
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第六章 矩阵位移法
12 EI
l3 6EI
k
e
l2
12EI l3
6 EI l2
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计 算自动化和通用性强，目前广为采用。
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第六章 矩阵位移法
二、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
三、结构矩阵分析的基本思路
化整为零
（单元分析）
集零为整
（结点力平衡、位移协调）
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第六章 矩阵位移法
四、拟解决的问题
6EI l2
1
4EI l
2
6EI l2
3
2EI l
4
F3e
12EI l3
1
6EI l2
2
12EI l3
3
6EI l2
4Hale Waihona Puke F4e6EI l2
1
2EI l
2
6EI l2
3
4EI l
4
F1 e
F2
F3
F4
12 EI
l3 6EI l2
12EI l3
6 EI l2
6 EI l2 4 EI l
不同类型的单元通常有不同的单元刚度方程 形式，但总的思想不变。
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第六章 矩阵位移法
6-2-1 平面桁架单元刚度方程
局部坐标系下平面杆单元分析
y
1 EA e
u1
2x u2
F1 1 EA e
2 F2
F1
EA l
u1
EA l
u2
F2
EA l
u1
EA l
u2
单元方向： 1 2
杆端位移：
e
uu12
M1
M2
M3
1
1
i1 2
2
i2
3
l
l
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第六章 矩阵位移法
1
e 2
1
2
F2
F1 1 EI e 2
F1
F2
EI l
4 2
2 4
1 2
Fe k e e
F1 4i11 2i1 2 F2 2i11 4i1 2
k
e
EI l
4 2
2 4
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第六章 矩阵位移法
6-2-3 不计轴向变形的平面弯曲单元
离 散 化：确定座标、单元编码、结点编码（总 体码和局部码）、位移编码（总体码和局部码） 单元分析：研究单元的力学特性，建立单元杆端 力和杆端位移的关系。 整体分析：研究整体的平衡条件、平衡方程的组 成规律和求解方法。 编制程序：根据矩阵位移法的分析原理，绘制程 序运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又 称为程序设计。
机算 分析过程公式紧凑、形式统一; 方法 要求 计算过程规格化、程序化、自动化。
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第六章 矩阵位移法
根据计算中选取基本未知量的不同，结构矩阵分析 方法可分为：
位移法(刚度法) —— 以结点位移为基本未知量，建 立结点平衡方程，通过计算结点位移反推杆件内力
力 法(柔度法) —— 以杆端力为基本未知量，建立位 移协调方程，直接计算杆件内力
杆端内力：F e
F1
F2
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第六章 矩阵位移法
F1
F2
EA l
1 1
1
1
uu12
Fe k e e
单元刚度方程
k
e
EA l
1 1
1
1
单元刚度矩阵
局部坐标系下的单刚方程
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第六章 矩阵位移法
6-2-2 连续梁单元刚度方程
对于细长杆，由于轴向刚度一般远大于弯曲刚度， 在小变形假设下横向荷载不引起轴向位移。所以 对于连续梁来说结点只有一个广义位移（杆端转 角）和一个广义力（杆端弯矩）。
混合法 —— 以部分杆端力和部分结点位移为基本未 知量，建立位移协调方程和平衡方程，通过叠加计算 杆件内力。
位移法与力法之不同就在于选取的基 本未知量不同，因此计算次序不同
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第六章 矩阵位移法
力法
结构结点力 杆件杆端力 杆件结点位移 结构结点位移
位移法
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多 地依赖于结构的具体情况，不宜实现计算机计算的 自动化，但其优点是计算出的结果就是力；
结构力学
<I>
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第六章 矩阵位移法 §6-1 概述
矩阵位移法是以结构力学原理为基础， 以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行 分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、 变形等计算的方法。
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第六章 矩阵位移法
一、方法的选择
建立在手算基础上的超静定结构计算方 法(力法、位移法、渐进法等)。当基本未知量 较多时机算是很好的手段。
F4
单元方向： 1 2
F1
4
几何量： I , A,l
2
1 F2
1
e
F3 3 物理量：
E
杆端力：
2
F e (F1 ,F2 ,F3 ,F4 )T
杆端位移：
e (1 ,2 ,3 ,4 )T
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第六章 矩阵位移法
F1e
12EI l3
1
6EI l2
2
12EI l3
3
6EI l2
4
F2e
模型和原结构是有差别的，这个差别可以通 过单元的适当选取给予降低。
主要工作：单元的划分；体系的数字化。
直杆体系按自然选取杆件的汇交点、截面的 变化点、支撑点或荷载作用点作为结点，将结构 划分成一系列只在结点相连的单元集合。
用数字描述体系的位置，单元的属性。
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第六章 矩阵位移法
例如
单元
6 EI l2 4 EI l
6EI l2 2 EI l
12EI l3
6EI l2 12 EI l3
6EI l2
6 EI
l 2 2 EI l
4
6 EI l2
EI l
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第六章 矩阵位移法
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第六章 矩阵位移法
五、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 结点内力规定当与坐标轴正方向相反时为正； 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。
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第六章 矩阵位移法
六、结构的离散化工作
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干 个各自独立的单元，单元之间是由结点连接，用 此计算模型模拟原结构的受力和变形特性。