v 3 = 0.228
v4 = 0.544
于是四项评价指标的权重为： 于是四项评价指标的权重为：
ϖ 1 = 0.244,ϖ 2 = 0.172,ϖ 3 = 0.172,ϖ 4 = 0.411
3. 相关系数法 首先求出m个评价指标的相关系数矩阵 ： 首先求出 个评价指标的相关系数矩阵R： 个评价指标的相关系数矩阵
− Rm1 1 −
对例2用相关系数法求评价指标的权数 例3. 对例 用相关系数法求评价指标的权数 利用MATLAB,我们很容易求出 解 利用 我们很容易求出
，，，
0.6839 0.7575 0.9885 1 1 0.9164 0.7209 0.6839 R= 0.7575 0.9164 1 0.7332 1 0.9885 0.7209 0.7332
x1 = (5.2 + 10.08 + 5.25 + 9.72 + 6.6) / 5 = 7.37,
2 s1 = 1 ∑ (a1 j − x1 ) 2 = 5.67 4 j =1 5
s1 = 2.38
v1 = s1 x1 = 2.38 / 7.37 = 0.323
同理可得： 同理可得：
v 2 = 0.227
第四讲 模糊综合评价 §4.1评价指标权重的确定 评价指标权重的确定 在对许多事物进行客观评价时， 在对许多事物进行客观评价时 ， 其评价因素可能较 我们不能只根据某一个指标的好坏就做出判断， 多 ， 我们不能只根据某一个指标的好坏就做出判断 ， 而应该依据多种因素进行综合评价。 而应该依据多种因素进行综合评价。 是待评价的n个方案集合 个方案集合， 设 U = {u1 , u2 , L , un }是待评价的 个方案集合，
Pi (2) 将Pi 归一化，即 ϖ i = 归一化， 为第i种污染指标的 为第 种污染指标的 ∑ Pi 权数。 权数。
注意：如果没有给出各污染物在水中的平均允许值， 注意：如果没有给出各污染物在水中的平均允许值， 则用第i项评价指标的各级标准值的平均值代替 项评价指标的各级标准值的平均值代替。 则用第 项评价指标的各级标准值的平均值代替。 例1. 现给出水质分级标准如下表
我们可得计算公式如下： 解：利用MATLAB,我们可得计算公式如下： 利用 我们可得计算公式如下
5. 夹角余弦赋权法 首先确定理想最优方案和最劣方案,然后建立各方案 首先确定理想最优方案和最劣方案 然后建立各方案 与最优.最劣方案的相对偏差模糊矩阵 与最优 最劣方案的相对偏差模糊矩阵: ~ ~,最后分别 最劣方案的相对偏差模糊矩阵 最后分别 各评价指标对应向量的夹角余弦作为初权, 计算 R,T各评价指标对应向量的夹角余弦作为初权 ~ ~ 归一化后即得到评价指标的权重. 归一化后即得到评价指标的权重 6. 主、客观综合赋权法 为了弥补主观赋权和客观赋权的不足， 为了弥补主观赋权和客观赋权的不足，我们可以将主观 法与客观法相结合，从而使指标的赋权趋于合理化，由 法与客观法相结合，从而使指标的赋权趋于合理化， 此产生的方法称为组合赋权法。 此产生的方法称为组合赋权法。
方案 A1 A2 A3 A4 A5
投资额 期望净现值 风险盈利值 风险损失值
5.20 5.20 4.73 0.473
10.08 6.70 5.71 1.599
5.25 4.20 3.82 0.473
9.72 5.25 5.54 1.313
6.60 3.75 3.30 0.803
试确定四个评价指标的权重
客观法是根据各指标值之间的内在联系， 客观法是根据各指标值之间的内在联系 ， 利用数学的 方法计算出各指标的权重。 方法计算出各指标的权重 。 下面我们举例说明如何确 定指标的权重。 定指标的权重。 1. 利用环境质量分数确定因子权数 在进行环境监测、 在进行环境监测、污染评估等综合评价时通常利用环 境质量分数确定因子权数。其计算公式如下： 境质量分数确定因子权数。其计算公式如下： (1) Pi=Ci/C0i Ci为第 种污染物在水中的实测浓度， C0i为第 种污 为第i种污染物在水中的实测浓度 种污染物在水中的实测浓度， 为第i种污 染物在水中浓度的平均允许值。 染物在水中浓度的平均允许值。
ρi =
T −1 ri Rm − 1ri
是除去第i个指标后 是除去第 个指标后m-1个指标的相关系数矩阵 个指标后 个指标的相关系数矩阵 的逆矩阵 ri 中第i列向量去掉元素 以后的m-1维列向量 列向量去掉元素1以后的 为R中第 列向量去掉元素 以后的 维列向量 然后将 ρ i的倒数进行归一化就可得到各评价指标的权数
级别 成分 酚 氰 汞 铬 砷 一级水 0.001 0.02 0.00025 0.002 0.02 二级水 0.002 0.05 0.001 0.05 0.04 三级水 0.01 0.2 0.005 0.2 0.2
若 测 得 某 水 井 所 含 上 述 污 染 物 含 量 为 （0.008,0.185,0.004,0.164,0.140）试确定酚、氰、汞、 ）试确定酚、 砷的权重。 铬、砷的权重。
V
= {v1 , v 2 , L , v m }是评价因素集合 ， 将 U中的每个 是评价因素集合， 中的每个
a ij
方案用V中的每个因素进行衡量得到一个观测值矩阵 方案用 中的每个因素进行衡量得到一个观测值矩阵
a11 a12 a21 a22 A= L L a m1 a m 2

1 r21 R= L r m1
r12 1 L rm 2
L r1m L r2 m L L L 1
( i = 1,2, L , m )
则第i个指标与其他 个指标之间的多元相关系数为： 则第 个指标与其他m-1个指标之间的多元相关系数为： 个指标与其他 个指标之间的多元相关系数为
L a1n 其中 a ij 表示第个j 表示第个j L a2 n 方案关于第i 方案关于第i项评 L L 价因素的指标值。 价因素的指标值。 L amn
为了客观公正地对各方案进行综合评价，通常有以下 为了客观公正地对各方案进行综合评价， 两种方法： 两种方法： 一是将各方案数值（ 根据各评价指标的属性） 进行 一是将各方案数值 （ 根据各评价指标的属性 ） 无量纲化， 无量纲化 ， 然后根据各指标的重要性程度对各指标 赋权， 赋权 ， 在此基础上建立目标函数并且求出该函数的 极大值或极小值。二是由观测值矩阵A， 极大值或极小值。二是由观测值矩阵 ，依据各指标 的属性构造出一个理想方案， 的属性构造出一个理想方案 ， 然后考察已知方案中 那个方案与此理想方案最接近。 那个方案与此理想方案最接近。 一、各指标权重的确定方法 确定各指标的权重通常有客观赋权法和主观赋权法， 确定各指标的权重通常有客观赋权法和主观赋权法，主 观法（又称专家评测法）是指请若干专家就各指标的重 观法（又称专家评测法） 要性进行评分， 要性进行评分，然后将各专家的评分值平均就得到各指 标的权重。 标的权重。
ρ1 = 0.9998 ρ 2 = 0.9985 ρ 3 = 0.9850 ρ 4 = 0.9998
于是求出权数为: 于是求出权数为
ϖ 1 = 0.2490 ϖ 3 = 0.2527
显然，用不同的方法求出的权数是不同的，因此应 显然，用不同的方法求出的权数是不同的， 根据实际问题确定用什么方法最好。 根据实际问题确定用什么方法最好。
R = corrcoef ( A' ) S = diag ( std ( A' )) [ x , d ] = eig ( R * S )
于是得到最大的特征值为： 于是得到最大的特征值为 ： 4.3436,他所对应的特征向 他所对应的特征向 量为 (0.5185,0.4705,0.4918,0.5176) 归一化后可得权向量为：w=(0.259,0.2359 归一化后可得权向量为：w=(0.259,0.2359,0.246,0.259)
R,T
设指标的主观权向量为 客观权向量为
(α1 ,α 2 ,L , α m )
( β1 , β 2 , L , β m )
则组合权数有以下两种表示方法： 则组合权数有以下两种表示方法：
wi =
αi β i
i =1
其中， 其中，
∑ αi β i
为偏好系数。 为偏好系数。
m
wi = λα i + (1 − λ )β i
C1 = 0.008 C 01 = ( 0.001 + 0.002 + 0.01) / 3 = 0.0043
P1 = 0.008 / 0.0043 = 1.86 C 02 = ( 0.02 + 0.05 + 0.2) / 3 = 0.09 C 2 = 0.185, P2 = 0.185 / 0.09 = 2.06 C 3 = 0.004, C 03 = 0.002, P3 = 0.004 / 0.002 = 2
ϖ 2 = 0.2493 ϖ 4 = 0.2490
4. 特征向量法 特征向量法的步骤如下：首先求出m个评价指标的相 特征向量法的步骤如下：首先求出 个评价指标的相 关系数矩阵R； 关系数矩阵 ；然后求出个指标标准差所组成的对角 矩阵S 最后求出矩阵RS的最大特征值所对应的特 矩阵 ， 最后求出矩阵 的最大特征值所对应的特 征向量就得到个指标的权重。应当注意的是:如果 如果RS 征向量就得到个指标的权重。应当注意的是 如果 不是正矩阵, 不是正矩阵 则不能保证其最大的特征值所对应的特 正向量. 征向量是 正向量 对例2用特征向量法求各评价指标的权数 用特征向量法求各评价指标的权数。 例4. 对例 用特征向量法求各评价指标的权数。
v i = si x i
si 项指标值的方差。 为第i项指标的平均值 项指标的平均值， 是第i项指标值的方差 其中 ， x为第 项指标的平均值， 是第 项指标值的方差。 i vi 进行归一化， 对 进行归一化，即得到各指标的权数