（可由f(-x)=±f(x)判定）
③当a≠ 0时，可通过什么判断奇偶性？
（可由f(a)与f(-a)的关系判定）
问题5：设a为实数，函数 f x x2 x a 1 x∈R
(Ⅰ)讨论f(x)的奇偶性。
(Ⅱ)求f(x)的最小值。
y
分析Ⅱ
①分析f(x)的最小值首先应怎么办？
1
a2
ax
（分x≤a或x≥a去绝对值）
与y=k有交点
fminx k fm ax x 即 f 1 k f 1
1 k 3
y
Y=k
x
-1
1
三、问题精讲：
问题5：设a为实数，函数 f x x2 x a 1 x∈R
(Ⅰ)讨论f(x)的奇偶性。 (Ⅱ)求f(x)的最小值。 分析Ⅰ (Ⅰ)①f(x)的奇偶性与什么有关系？
（与a的取值有关） ②当a＝0时，可通过什么判断奇偶性。
x2 =
1 a
>0
x1, x2同号
∵-2< x1<0 | x2－ x|1＝2
x2 x1 2 0 (舍去)或 x2 x1 2 2
由图像知应有g(-2)<0得 4a-2b+3<0 ③
又x1
x2 2
x1
x2 2
4 x1 x2
b 12
a2
4 a
4
得a
b 12 1 1
2
代入③得
2
b 12 1 2b 1
方法一
y x2 2x k x 12 k 1
-1
1
x
由图象可知方程 x2 2x k 0 在［－1，1］
上有解则
即
1 k 3
问题4：若方程 x2 2x k 在区间［-1，1］上
有解，则实数K的取值范围为
方法二
方程 x2 2x k 在［－1，1］上有解
即 y x2 2x x 12 1 x 1,1
D.不能确定
解析
a=1 故选B
问题3：已知a>0, b>0函数 f ( x) ax bx2 , 若对于任
意 x∈R,都有f(x)≤1，则( )
A. a ≤2
B.a ≥2
C. a =2
D.b ≤ 2a
解析
方法一：f ( x) ax bx2 对任意x∈R恒有f(x)≤1 y
则
fm ax x 1即
解得b 7 4
b的取值范围为(
7 4
,)
小结
(1)二次函数的性质(奇偶性、单调性、最值等) 始终是高考考查的重点；
二次函数与一元二次方程，一元二次不等式 的综合考查也是现代高考命题的重要方向。
(2)二次函数的研究，通常借助二次函数的图象 直观分析，并始终贯穿函数与方程，数形结合， 分类讨论，化归与转化四大数学思想。
( A) 1 2
(B)1 2
(C)5 10
(D)1 2或5 10
4.对于函数f(x) 点，已知函数
若存在
f x
x0 R,
ax2 b
使 1fx(x0b)
1x,0(成a 立 ，0)则称
x
0为f(x)的不动
(1)当a=1，b=-2时，求函数f(x)的不动点
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围
证明：(Ⅰ)：设 gx f x x ax2 b 1x 1，它的图像
是开口向上的抛物线，
x x 若 1<2< 2 <4，由图象可知g(4)>0且g(2)<0
即
① ②－①×3得：4a-2b>0即b<2a
②
∴f(x)的图象的对称轴x＝ b >-1即 2a
x0>-1
解: x (Ⅱ)由韦达定理知： 1
解：
(Ⅱ)当x≤a时，
f x
x2
x a 1 x
1
2
a
3
2
4
若a≤ 时，则函数f(x)在（－∞，a］上单调递减，从而f(x)在（-∞，a］
上的最小值为f(a)= a2 1
若a>
时，则函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为
f 1 3 a 2 4
且
f 1 f a
2
当x≥a时，
a2 4b
1即4b
a2
由a 0, b 0得a 2 b 故选A
1 x
方法二: 由已知得 ： bx2 ax 1 0对x R恒成立
a2 4b 0即a2 4b
y
a 2 b 故选A
x
问题4：若方程 x2 2x k 在区间［-1，1］上
有解，则实数K的取值范围为
错误解法：方程变形为x2 2x k 0 ,由△≥0 y 得k≥－1
四、探索发展
1.若函数 y x2 mx 1 在区间（ －∞，2］上是单调递减的，则实
数m的取值范围是
。
2.已知x的方程cos2x+sinx-a=0有实数根，则实数a的取值范围为
3.函数 f x 4x2 4mx m2 2m 2 (m∈R)在区间［0，2］上的最
小值为3，则m等于[ ]
②x≤a时
f
x
x2
x

a
1
x
1
2
a
3
2
4
的最小值点是什么？
a
1 时，f
2
minx
f a;a
1 时，f
2
minx
f ( 1) 2
问题5：设a为实数，函数 f x x2 x a 1 x∈R
(Ⅰ)讨论f(x)的奇偶性。 (Ⅱ)求f(x)的最小值。
解: (Ⅰ)当a＝0时，f x x2 x 1 f x
f
x
x2
x
a
1
x
1 2
a
3
2
4
若a≤ 1时，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为
2
f 1 3 a且
2 4
f
1
f
a
2
若a> 1 时，则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增，从而f(x)在[a,+∞)上的最小值
2
为f(a)= a2 1
综上所述：当a≤ 1 时，函数f(x)的最小值为 - a
(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，
且A、B两点关于直线y=kx+
对称，求b的最小值。
2
当 1 2
<
a
≤
1 2
时，函数f(x)的最小值为
a2 1
当a ＞ 1 时，函数f(x)的最小值为 a+
2
问题6：二次函数 f x ax2 bx 1a,b R, a 0
设方程f(x)=x 的两个实数根为x1和x2 (Ⅰ)如果 x1<2<x2<4，设y=f(x)的图象的对称轴为 x= x0 ，求证: x0>-1 (Ⅱ)如果-2< x1<0，| x2 － x1 |=2，求b的取值范围。
分析：
(Ⅰ)①求证x 0 >-1就是要证明什么结论？
( b ＞－1即b<2a） 2a
②怎样得到与a,b有关的不等式？
(g(4)>0且g(2)<0)
y 2 4x
问题6：二次函数 f x ax2 bx 1a,b R, a 0
设方程f(x)=x 的两个实数根为x1和x2 (Ⅰ)如果 x1<2<x2<4，设y=f(x)的图象的对称轴为 x= x0 ，求证: x0 >-1 (Ⅱ)如果-2< x1<0，| x2 － x1 |=2，求b的取值范围。
问题1：函数 y 2x2 2x 的单调递减区间为
解析
y 2x22x 的定义域为R
y
y x2 2x (x 1)2 1
单调递减区间为( －∞，1]，
1
x
故答案为( －∞，1]
问题2：已知二次函数 f ( x) ax2 (a2 a)x 1 图像
关于y轴对称，则实数a的值为(
)
A. 0
B. 1 C. 0或1
分析： (Ⅱ)①求字母的取值范围的一般思路是什么？
(构造关于字母的不等式)
y
②怎样产生与b有关的不等式？ (g(-2)<0）
③怎样消去不等式中的a？
(由| x 2－ x1|=2构造a,b的相等关系)
-2
x
问题6：二次函数 f x ax2 bx 1a,b R, a 0
设方程f(x)=x 的两个实数根为x1和x2 (Ⅰ)如果 x1 <2< x2<4，设y=f(x)的图象的对称轴为 x=x0 ，求证: x0>-1 (Ⅱ)如果-2< x1<0，| x2 － x1 |=2，求b的取值范围。
此时f(x)为偶函数。
当a≠ 0时， f a a2 1, f a a2 2a 1
f(－a)≠f(a) ,f(－a)≠ －f(a)此时函数f(x)既不
是奇函数也不是偶函数。
问题5：设a为实数，函数f(x)= x2 x a 1，x∈R (Ⅰ)讨论f(x)的奇偶性。 (Ⅱ)求f(x)的最小值