O
v p
v
v2
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一温度下不同种气体速率分布比较
大时， v 的统计平均值可表示为
Nivi
v i N
因为速率连续分布， 所以有

v 0 vdNv N
关于 v 的任意函数 g(v) 在 v1 v2 速率区间的统计平均值为
v2 g(v)dN v2 g(v) f (v)dv
g(v) v1 v2 dN v1 v2 f (v)dv
麦克斯韦
3
f
(v)

4

m
2k T
2
e mv2
v ( 2kT ) 2
T ——热力学温度
m ——单个分子的质量
k ——玻尔兹曼常量
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O v vp
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
v
p
v


v
p
vp 100


v
p
vp 100

vp 50
在此利用vp ，引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率
分布律改写成如下简单形式：
N＝f (W )W 4 W 2eW 2 W
N

§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
现在
W v ＝99 vp 100
dN Nf (v)dv
速率位于
v1

v2
区间的分子数
N

v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
S

N (v1 N
v2 )

v2
v1
f
(v)dv
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
设 N 个分子中速率为 vi 的分子有 Ni 个，当总分子数 N 非常
可测气体速率分布
蒸汽源
检测器
给定 t l
v
v
l

小孔充分小，改变
度的分子通过小孔。

l
D
OB
C
抽气
抽气
或 l ，可使不同速
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
2. 麦克斯韦速率分布律
3
dN N

4

m
2kT
e v 2
2
mv 2 kT
2

dv
麦克斯韦速率分布函数
§10.2麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
一 分子热运动和统计规律
分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动 一般气体分子热运动的概念：
•分子的密度 31019 个分子/cm3 = 3千 亿个分子/cm3 ；
•分子之间有一定的间隙，有一定的作用力；
•分子热运动的平均速度约 v = 500m/s ； •分子的平均碰撞次数约 z = 1010 次/秒。
区间的分子数占总数的百分比 .
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
分布函数 f (v) lim N 1 lim N 1 dN v0 Nv N v0 v N dv
f (v)
dS
o v v dv
v
dN f (v)dv dS N
归一化条件
物理意义
表示在温度为 T 的平衡
f (v)
面积f (v)d v d N N
面积
速率在(v, v
v2
v1
df v(v)区) d间v内的N分N子数
f (v)
占总分子数的比例；或分子速率位
于(v,v dv) 区间 内的概率。
O dvv v1 v2
v
速率在 (v1, v2 ) 区间内的分子数占总分子数的比例；或
分子速率位于 (v1, v2 ) 区间内的概率。
v1
v1
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
n • f (v)为速率分布函数， 为分子数密度，说明下
式的物理意义：
(1)nf (v)dv
Q
f (v)
dN ,n N dn v
N V
nf (v)dv dN V
表示单位体积内分布在速率区间 v v dv
内的分子数。
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
3. 气体的三种统计速率 (1)最概然速率:
速率分布函数 f (v) 中的极大值对应的分子速率。
d f (v)
极值条件
0
f
(v)

4
dv

m
2k
T
3
2
e

mv2 2kT
v
2
v p
2kT m

2 RT

1.41
RT

§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
统计方法：
气体动理论中，求出大量分子的某些微观量 的统计平均值，用它来解释实验中测的宏观量， 故可从实测的宏观量了解个别分子的真实性质。
统计方法同时伴随着起伏现象。 如对气体中某体积内的质量密度的多次
测量，各次测量对平均值都有微小的偏差。当气 体分子数很大时，起伏极微小，完全可忽略；当 气体分子数较小时，起伏将与平均值可比拟，不 可忽略。故统计规律只适用于大量分子的整体。
•布朗运动是杂乱运动的流体分子碰撞悬浮 其中的微粒引起的。
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
1.分子热运动的基本特征
分子热运动的基本特征是永恒的运动与频繁 的相互碰撞。它与机械运动有本质的区别，故不 能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。
(1)无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；
各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正 是热运动与机械运动的本质区别。
(3)n v2 f (v)dv v1
f (v) dN , n N
Ndv
V
n v2 f (v)dv N N N
v1
VN V
表示分布在单位体积内，速率区间 v1 v2内的
分子数。
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
二 麦克斯韦速率分布律
1. 分子速率的实验测定
小孔充分小，改变 ， 测 D 上的沉积厚度，就
R2TmkT1.723e

2
v RT mv
2 kT

2
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)
方均根速率
O
v2
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
三种速率比较
f (v)
vp v v2
三种速率均与 T 和 m 成
反比，但三者有一个确定的 比例关系;三种速率使用于不 同的场合。
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
2.分布函数和统计平均值
偶然事件：大量出现不可预测的事件。多次重复观察 同样的事件，可获得该偶然事件的分布， 从而得到其统计规律。
设： N ——为一定质量气体的总分子数
N ——为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
表示速率在 v v v
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的 百分比 .
表示速率在v v dv
区间的分子数占总分子数的
百分比 .
0N
dN N

0
f
(v)dv
1
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)
S
o
v1 v2
dN f (v)dv N
速率位于v v dv 内分子数
v
f (v)最概Βιβλιοθήκη 速率Ovvp
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
(2)平均速率：气体分子速率的算术平均值。
N
v 0 v d N

vf (v) d v
N
0
v f (vv) Nd dNv f
(v)

48kT
m
2mk8TRT8231kem.T60m 2kRvTT2
把这些量值代入，即得
W v＝ 1 v p 50
N＝
N
4


99 100

2
e

99 100

2
1 50
1.66%
v2
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)
平均速率
O
v
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
(3)方均根速率：气体分子速率平方的平均值的平方根。
v2
N v2dN
0

v2 f ( v )dv 3kT
N
0
m
dN
3
f ( v ) Ndv v2
f (v)3mkT
4
3
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速率
大的分子数越多。
m3
O
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
例3 （教材例10.3） 试计算气体分子热运动速