2
n −1
D2 =
7 5
= 2( D n −1 −5D n − 2 )
n −2
= 39 D = 7 1 2 ( D n −2 −5D n −3 ) = L= 2
n −1
( D 2 −5 D 1 ) = 2 n
D2 − 2 D1 = 25
Dn − 2 D
2
= 5( D n −1 −2 D n − 2 )
8 1 27 64
1 4 16 64
3
= (1 − 2)(3 − 2)( 4 − 2)(3 − 1)( 4 − 1)( 4 − 3) = −12
( a − 1) 2 ( a − 1) D= a −1 1
3
( a − 2) 2 ( a − 2) a−2 1
( a − 3) 2 ( a − 3) a−3 1
2 2 O =2 N 3 0 2 3 3 2 O N
3
0
2 22n 1
2 02n−1
= 4D 2n−2 − 9D2n−2 = −5D2n−2 2 = ( −5) 3 D2 n −6 = ( −5) D2 n −4 n−1 = L = ( −5) D2 2 3 n D2 = = (−5) 3 2
= −5
一定有解 零解
定理2 若齐次方程组的系数行列式 定理
D ≠ 0 则方程组有惟一零解 则方程组有惟一零解.
定理2 若齐次方程组有非零解， 定理 * 若齐次方程组有非零解，则它 ＝ 的系数行列式 D＝0
例1：λ为何值时，方程组有非 零解？ λx + y − z = 0 x + λy − z = 0 2 x − y + λz = 0
b1 D − a11 D1 − a12 D2 − L − a1n Dn = 0
为此构造n+1阶行列式 阶行列式 为此构造
Dn +1 =
b1 b1 M bn
a11 a11 M a n1
a12 a12 M an2
L a1n L a1n L M L a nn
此行列式为零.将其按第一行展开 得 此行列式为零 将其按第一行展开,得 将其按第一行展开
求二阶A矩阵的伴随矩阵 例:求二阶 矩阵的伴随矩阵 求二阶 矩阵的伴随矩阵.
a b A= c d
d − b A = − c a
∗
AA =
a11 a 21 M a n1 L a1n A11 a 22 L a 2n A12 M L M M a n 2 L a nn A1n a12 An1 A22 L An 2 M L M A2n L Ann A21 L
伴随矩阵
A = (aij )n×n
A21 L A22 M A2n An1 L An 2 L M L Ann
Aij的 两个应用
A11 ∗ A12 A = M A 1n
∗
Aij为aij的代 数余子式
伴随矩阵
代数余子式的顺序! 写A 时要注意什么？ 代数余子式的顺序!
5 O
第n +1行 减第1行 L
3 N 5 N 3 O −1 0 −1
=
= (−1) 5
n n
0
也可用按行或列展开做. 也可用按行或列展开做
按第一行展开。 按第一行展开。
2 2 O D2 n = N 3 3
0 2 3 O − 3 N 3 3 2 3 3 2 O N 3
3 3 N 2 3 3 2 O 2 2
2 3 2 3
1 a−4 ( a − 4) ( a − 4) 1 a −1 ( a − 1) ( a − 1)
2 3 2 3
= 3!2!1! = 12
1 1 求方程 p( x) = 1 1
2 3 4 x
4 9 16 x2
8 27 64 = 0 的根 x3
2， 3， 4
克莱姆法则
考虑方程组
行列式的应 用
2a 22 − 1 L
≠0
L 2a nn − 1
故方程组有惟一零解。 故方程组有惟一零解。 行列式练习： 行列式练习： 1. 2
3 N
5 O = 5 3 5 2 N O 5 N
3
O D2 n = N 3 2 3 3 2
O 2
2
列加到第n列 … 第n+1列加到第 列,… 列加到第 列加到第1列 第2n列加到第 列. 列加到第
∗
A = O
∗ = AE = A A A
一个很重 要的式子
AA = A A = A E
∗
∗
例.范德蒙行列式 1 a1 2 a1 Dn = M
n −1 a1
1 a2 2 a2 M
n −1 a2
1 a3 2 a3 M
n −1 a3
L L L L L
1 an 2 an M
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
与二,三元线性方程组类似 元方 与二 三元线性方程组类似,n元方 三元线性方程组类似 程组也可用行列式表示. 程组也可用行列式表示
定理1 定理 若方程组的系数行列式
a11 a 21 M a n1 a12 a 22 L a1 n L a2n
D=
M L M a n 2 L a nn
≠0
则方程组有惟一解， 则方程组有惟一解，且表示为
Dn D1 D2 x1 = , x2 = ,L , x n = D D D
其中
a11 L a1( j −1) b1 a1( j +1) L a1n Dj = M L M M M L M an1 L an( j−1) bn an( j +1) L ann
a11 L a1( j −1) a1 j x j a1( j +1) L a1n M L M M M L M an1 L an( j−1) anj x j an( j+1) L ann
= Dj
bi = ai1 x1 + L + aij x j + L + ain xn
(i =1,2,L, n)
定理1 定理 * 若线性方程组的系数行列式不为 则方程组有惟一解. 零,则方程组有惟一解 则方程组有惟一解 方程组
2 −1 中x 4和x3的系数，常数项 1 x
行列式的 定义
设A、B为n阶方阵，且A2 = E，B 2 = E，A | + | B |= 0 | 证：A + B |= 0 |
练习：设A为n阶方阵，AA = E，A |= −1， | 证：A + E |= 0 |
T
设多项式f ( x) = a0 + a1 x + L an x n , 证明：若f ( x)有n + 1个互异零点，则f ( x) ≡ 0
要证明这一定理,需证明两点 一是有解 要证明这一定理 需证明两点.一是有解 需证明两点 一是有解, 二是解惟一,为 二是解惟一 为
xj =
Dj D
( j = 1,2, L , n )
欲证
xj =
Dj D
( j = 1,2, L , n )
是解,只需证明等式 是解 只需证明等式
Dn D2 D1 a11 + a12 + L + a1 n = b1 D D D 个式子成立.整理上式 等n个式子成立 整理上式 得: 个式子成立 整理上式,得
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0 a x + a x + L + a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLL a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = 0
称为n元齐次线性方程组 称为 元齐次线性方程组. 元齐次线性方程组
7 5 2 7 2.Dn = 2 5 7 5 O O O 2 7 5
2 5 2 7 7 (按第一行展开 按第一行展开) 按第一行展开 = 7 Dn −1 − 5 2
5 7 O O O 5 2 7
= 7 Dn −1 − 10 Dn −2
Dn = 7 Dn −1 − 10 Dn −2
⇒ Dn − 5 D
证：因为系数行列式为
1 a11 − 2 D= a 21 M a n1
2a11 − 1 1 = n 2 2a 21 M 2a n1
a12
L
a1n a2n M 1 − 2
2a1n 2a 2 n M
1 a 22 − L 2 M L an 2
L a nn
2a12 M 2a n 2 L L
按定义展 开，除主 对角线上 的元素之 乘积为奇 数，其余 数均是偶 数。
b2 a21 L a2n 2+n (−1) a1n M M M L M bn an1 L ann
bn
= b1 D − a11 D1 − a12 D2 − L − a1n Dn = 0
由 D ≠ 0 得证。 得证。 再证解是惟一的, 再证解是惟一的 为 x j =
Dj D
即
D⋅ xj =
D ⋅ xj = Dj
3
( a − 4) 2 ( a − 4) a−4 1
3
1 D= a −1 ( a − 1) ( a − 1) 1 = a−4 ( a − 4) ( a − 4)
2 3 2 3
1 a−2 ( a − 2) ( a − 2) 1 a−3 ( a − 3) ( a − 3)