用导数研究三次函数一、知识点解析 1、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ，我们把)3412422ac b ac b -=-=∆（,叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当032≤-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
2、对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abf a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当032≤-=∆ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。
此时：①若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若0)()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若0)()(21=⋅x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x 0处取得极大值（或极小值），称点x 0为极大值点（或极小值点）。
当0∆>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。
当0∆≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。
5、最值问题。
函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；。
6、过三次函数上一点的切线问题设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。
7、过三次函数外一点的切线问题设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。
可能有一条、两条或三条。
（具体情况分析不作要求）8、32()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表：二、经典题型一、考查函数的奇偶性和单调性例1 已知函数f(x)=x 3+px+q(x ∈R)是奇函数，且在R 上是增函数，则（ ）A 、p=0,q=0B 、p ∈R,q=0C 、p ≤0,q=0D 、p ≥0,q=0 解析 由奇函数以及增函数的定义易知选D 二、考查函数图象的对称性例2 函数f(x)=x 3-3x 2+x-1的图象关于（ ）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点032>-ac b 032≤-ac b图像0)()(21<⋅x f x f0)()(21=⋅x f x f0)()(21>⋅x f x f()0f x =根的个数 三实根 两实根 一实根 一实根与x 轴的交点三交点 两交点 一交点 一交点单调性 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数.，在),(21x x 上为减函数在R 上为增函数 极值有两个极值，一个极大值1()f x ，一个极小值2()f x无极值解析 由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于()2327233,a ba bc ab d +--成中心对称知选C 例3、（2013课标全国，16）若函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线x=-2对称，则)(x f 的最大值为____________.解析：函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图象关于直线x=-2对称，则⎩⎨⎧-=-=)5()1()4()0(f f f f解得a=8，b=5，所以)158)(1()(22++-=x x x x f 可以解得)(x f 的最大值为16。
三、运用函数的性质和数形结合思想解题例4 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞)解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A引申 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）例5（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（ ） （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则0)(='x f 由两个不相等的实数根)(,2121x x x x <,))((323)(212x x x x b ax x x f --=++=',则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在),(21x x 上为减函数，在（x 2，,∞+)上为增函数，故C 错。
D 正确。
选C 。
x四、考查单调区间、极值、最值的问题例6（2010年全国卷Ⅱ文）已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。
解析： （2）求出函数的导数()f x '，在（2，3）内有极值，即为()f x '在（2，3）内有一个零点，即可根据(2)(3)0f f ''<，即可求出a 的取值范围。
五、考查交点个数问题例7 （2009陕西文20）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点．．．．．．．．．．， 求m 的取值范围.解：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x >所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞当0a >时，由'()0f x >解得x <x >'()0f x <解得x <<所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，单调减区间为(.（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴=所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-由'()0f x =解得121,1x x =-=.由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值1，在1x =处取得极小值-3.因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是(3,1)-.点评：（1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系；（2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.六、考查曲线的切线问题例8（2007全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评：（1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体；（2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 七、含参数的恒成立问题 例9（2008年安徽文） 设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。