函数极限与连续函数的性质习题解答1． 用函数极限的定义证明：（1）2221lim 2.3x x x →∞+=- 证明： 0,ε∀> 欲使2222172,33x x x ε+-=<--易见当||3x >时，有2277|3|||.|3|||x x x x ->⇒<-于是，只要7,||x ε<即7||x ε>时，有222123x x ε+-<-成立。

取7max 3,.M ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭故对0,ε∀>7max 3,.M ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭对||,x M ∀>有 222123x x ε+-<-，即2221lim 2.3x x x →∞+=- （2）11lim arc .12x tg x π-→=- 证明：0(0),2πεε∀><<要使不等式11arc arc 1221tgtg x xππε-=-<-- (1)x < 成立，解得11.()2x tg πε-<- 取δ=1()2tg πε-，于是10,0,(1,1),()2x tg εδδπε∀>∃=>∀∈--有1arc ,12tgx πε-<- 即11lim arc .12x tg x π-→=- （3）lim(sin sin 0x →∞=。

证明：()1sin 2sin lim 11sin 2sin 110112112212sin212cos 21sin 2sin 22222222222222=+-+∴<<+-+>∀+⎥⎦⎥⎢⎣⎢=>∀<+++=+-+<+-++++=+-+∞→x x x x x N x N xx x x x x x x x x x x εεε有，，取2. 求下列极限： (1) 11lim(sincos ).x x x x→∞+ 解：2222sin 122sin 11112lim(sin cos )lim[(sin cos )]lim(1sin )2lim[(1sin )].x xx x x x xx x x x x x x xe x→∞→∞→∞→∞+=+=+=+=或：.11cos 1sin 1lim 1cos 1sin lim ]12111sin[lim 111cos 1sin 11cos 1sin 12e ex x x x xx x x xx x x x x xx x ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+∞→∞→∞→(2) 120lim(1sin ).xx x →+解：11sin 2sin 20lim(1sin )lim[(1sin )]x xx xx x x x →→+=+=(3) 210ln(1)lim.ln(1)x x x x x →∞-+++ 解：2222101091091029101111ln[(1)]2ln ln(1)ln(1)lim lim lim 1111ln(1)ln[(1)]10ln ln(1)11ln(1)21ln lim .115ln(1)10ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x→∞→∞→∞→∞-++-+-+==+++++++-++==+++(4) 2221lim .1x x x x →∞⎛⎫-⎪+⎝⎭解：22222112111lim lim .112lim 11x tt x t t t t x t e x t t -→∞→+∞--→+∞⎛⎫--⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦3. 求解下列各题：(1)已知极限lim )0x ax b →+∞-=，确定a 与b .解：已知222lim )limlimx x x ax b →+∞-===成立，从而210,a -= 120.ab +=解得11,.2a b =±=当11,2a b =-=时，极限1lim )2x x →+∞-不存在，于是11,.2a b ==- (2) 讨论极限111lim x x x →⎛⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是否存在？ 解：在点01x =的左右两侧附近，当1x >时有11010,x x ⎡⎤<<⇒=⎢⎥⎣⎦于是有1lim x +→11x x ⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=11lim 1;x x +→=当1x <（限定0x >）时，有111,x x ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦故由夹逼定理得11lim 1,x x -→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦从而有111lim 0.x x x -→⎛⎫⎡⎤-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭即111111lim lim ,x x x x x x +-→→⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤-≠- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭所以111lim x x x →⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭不存在。

4．证明下列各题：（1）设1,0.a k >>利用lim 0,kn n n a→∞= 求证：lim 0.k x x x a →+∞=证明：不妨设 1.x >则有[][]1([]1)([]1)0,k k kx x x x x x a a a a +++≤≤=注意到lim 0,kn n n a→∞=故由夹逼定理知lim 0.k x x x a →+∞=（2）证明在[0,)+∞上一致连续. 证明：对''',[1,),x x ∀∈+∞有'''12cos 2x x =≤=≤-从而在[1,)+∞上一致连续。

又在[0,1]连续，从而在[0,1]上一致连续。

故在[0,)+∞上一致连续。

（3）证明2sin x 在[0,)+∞上不一致连续. 证明：01,0,εδ∃=∀>取12x x ==其中正整数n 充分大使得12||,x x δ-<则有22120sin sin 1,x x ε-==所以2sin x 在[0,)+∞上不一致连续. 5. 试举出定义在上的函数f 的例子，使f 仅在2,1,0=x 三点处连续，而其余的点都是f 的第二类间断点。

解：令()(1)(2)()f x x x x D x =--，其中()D x 为狄利克雷函数，在点0x =附近，易见(1)(2)()x x D x --有界，故有lim ()0(0)x f x f →==，即f 在x=0点连续。

类似可证f 在x=1，2点连续。

另一方面，0\{0,1,2}x ∀∈，取有理点列{},n x 0(),n x x n +→→∞ 有 000lim ()(1)(2)n n f x x x x →∞=-- (0);≠取无理点列'{},n x '0(),n x x n +→→∞ 有'lim ()0.n n f x →∞= 所以f 在点0x 不存在左右极限，故()f x 以0x 为其第二类间断点. 6. 求证：方程30(0)x px q p ++=>有且仅有一个根.证明：考虑3()0.f x x px q =++=因为lim (),x f x →+∞=+∞所以0,b ∃>使得()0.f b >又lim (),x f x →-∞=-∞所以0,a ∃<使得()0.f a <由零点存在定理，(,)c a b ∃∈使得()0f c =，即30c pc q ++=.由0p >，对21,x x ∀>因为2212122x x x x +≥-，有2233222121212121221121()()()()()()()0,2x x f x f x x x p x x x x x x x x p x x p +-=-+-=-+++≥-+>即函数()f x 是单调递增的，因此只有一个根.7. 设()f x 在[,]a b 上连续，对[,]x a b ∀∈，总存在[,]y a b ∈使得1()().2f y f x ≤求证：至少存在一点[,]a b ξ∈使得()0.f ξ=证明：用反证法. 如果函数()f x 在[,]a b 上没有零点，则函数()f x 在[,]a b 上也没有零点, 所以()0f x >.因为()f x 在[,]a b 上连续，根据闭区间上连续函数的性质，必存在最小值，即存在点[,]a b ξ∈使得{}|()|min |()|0.a x bf f x ξ≤≤=>由题设条件知，在[,]a b 内存在[,]y a b ∈使得1()()().2f y f f ξξ≤<这与()f ξ是最小值矛盾，所以函数()f x 在[,]a b 上至少有一个零点。

直接法：取0)(],,[00≠∈x f b a x ，根据题中条件，存在],[1b a x ∈，使得)(21)(01x f x f ≤（假设0)(1≠x f ）；类似地，存在],[2b a x ∈，使得)(21)(12x f x f ≤（假设0)(2≠x f ）。

依次下去，存在],[}{b a x n ⊂，满足存)(21)(21)(01x f x f x f n n n ≤≤≤- （假设0)(≠n x f ），易知 0)(lim =∞→n n x f 。

因为数列}{n x 有界，所以存在收敛子列}{k n x ，记k n k x ∞→=lim ξ，则],[b a ∈ξ，因为函数)(x f 在ξ处连续，所以0)(lim )(lim )lim ()(====∞→∞→∞→n n n k n k x f x f x f f k k ξ。

8．设f x C a ()[,)∈+∞且有界，若f a ()<∈+∞x a f x [,)sup {()}，则∀α,)}({sup )(),[x f a f a x +∞∈<<α，),(+∞∈∃a ξ，使得αξ=f ().证明：α∀使得()(){}x f a f a x sup ),[+∞∈<<α，取(){}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=+∞∈αεx f a x sup ),[21，则()+∞∈∃,a b ，使得()(){}(){})(sup 21sup ),[),[a f x f x f b f a x a x >>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=->+∞∈+∞∈ααε. 由于()],[b a C x f ∈，根据介值定理可知 ()()+∞⊂∈∃,,a b a ξ，使得()αξ=f . 9.设(),()[0,),f x g x C ∈+∞ lim (()())0.x f x g x →+∞-=证明：函数()f x 在[0,)+∞上一致连续当且仅当函数()g x 在[0,)+∞上一致连续。

证明：先设()g x 在[0,)+∞一致连续。