习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1) 1n n x n =+ ; (2) 2(1)nn x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-.解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n nx x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。
(2) 12343,1,3,1,,2(1),nn x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。
(3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞=。
(4) 12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n=-=-=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。
(3) 正确。
(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。
*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n -→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3) 323125lim-=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=.(2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3) 对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+. 因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n .习题2-2 1. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1) 21limx x →∞ ;(2) -lim xx e →∞；(3) +lim xx e-→∞；(4) +lim cot x arc x →∞;(5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+；(7) 1lim(ln 1)x x →+；(8) lim(cos 1)x x π→-解：(1) 21lim0x x →∞= ;(2) -lim 0xx e →∞=；(3) +lim 0xx e -→∞=；(4) +lim cot 0x arc x →∞=;(5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=；(7) 1lim(ln 1)1x x →+=；(8) lim(cos 1)2x x π→-=-2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。
3. ()00f x -与()00f x +都存在是函数()f x 在点x 0处有极限的( A ) (A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件(D ) 无关条件解：若函数()f x 在点x 0处有极限则()00f x -与()00f x +一定都存在。
4． 设()21;0,;0,x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩作出()f x 的图像；求()0lim x f x +→与()0lim x f x -→；判别()0lim x f x →是否存在?解：()0lim lim 0x x f x x ++→→==，()20lim lim(1)1x x f x x --→→=+=，故()0lim x f x →不存在。
5．设()xf x x=,()x x x ϕ=,当0x →时，分别求()f x 与()x ϕ的左、右极限，问()0lim x f x →与()0lim x x ϕ→是否存在?解：由题意可知()1;0,1;0,x f x x <⎧=⎨>⎩，则()00lim lim11x x f x ++→→==，()00lim lim11x x f x --→→==，因此()0lim 1x f x →=。
由题意可知()1;0,1;0,x x x ϕ-<⎧=⎨>⎩，()00lim lim11x x x ϕ++→→==，()00lim lim(1)1x x x ϕ--→→=-=-，因此()0lim x x ϕ→不存在。
*6.用极限的精确定义证明下列极限：(1) 1lim11x xx →∞-=-+;(2) 2-11lim-2+1x x x →-=； (3) 01lim sin0x x x→=. 证：(1) 0ε∀>，要使()122(1)1111x f x x x x ε---=+=≤<++-，只要21x ε>+即可.所以，21X ε∃=+,当x X >时，都有()(1)f x ε--<，故1lim11x xx →∞-=-+.(2) 对于任给的正数ε，要使()221212111x x x f x A x x x ε-++-=+==+<++,只要1x ε+<. 所以0ε∀>， δε∃=, 当01x δ<+<时，都有不等式21(2)1x x ε---<+成立.故2-11lim-2+1x x x →-=. (3) 对于任给的正数ε，要使()1sin0f x A x x xε-=-≤<,只要x ε<.所以0ε∀>， δε∃=, 当0x δ<<时，都有不等式1sin 0x xε-<成立.故01lim sin 0x x x→=.习题2-31．下列函数在什么情况下为无穷小?在什么情况下为无穷大? (1)21x x +-; (2)ln x ; (3)21x x+． 解：(1) 因为22lim01x x x →-+=-，故2x →-时21x x +-为无穷小， 因为12lim1x x x →+=∞-，故1x →时21x x +-为无穷大。
(2) 因为1limln 0x x →=，故1x →时ln x 为无穷小，因为0lim ln x x +→=-∞，lim ln x x →+∞=+∞，故0x +→和x →+∞时ln x 都为无穷大。
(3) 因为211lim 0x x x →-+=，22111lim lim()0x x x x x x →∞→∞+=+=，故1x →-和x →∞时21x x+为无穷小， 因为201limx x x →+=∞，故0x →时21x x+为无穷大。
2．求下列函数的极限：(1) 201lim sin x x x →; (2)tan lim x arc xx→∞; (3)2cos lim n n n →∞.解：(1) 因为(),0(0,)x ∀∈-∞+∞U ，1sin1x≤，且20lim 0x x →=，故得201lim sin 0x x x →=.(2) 因为(),0(0,)x ∀∈-∞+∞U ，arctan 2x π<，且1lim0x x →∞=，故得tan lim 0x arc xx→∞=.(3) 因为2cos 1n ≤，且1lim 0n n →∞=，故得2cos lim 0n n n→∞=.习题2-41. 下列运算正确吗?为什么?(1) 0000111lim cos lim limcos 0limcos 0x x x x x x x x x →→→→⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭;(2)()22111lim lim 1lim 1x x x x x x x →→→==∞--. 解：(1) 不正确，因为01limcos x x →不存在，所以此时极限的四则运算法则失效。
正确做法是：因为1cos1x≤，且0lim 0x x →=，故得01lim cos 0x x x →=.(2) 不正确，因为()1lim 10x x →-=，不能做分母，所以此时极限的四则运算法则失效。
正确做法是：因为211lim 0x xx→-=，由无穷小与无穷大的关系可知21lim 1x x x →=∞-.2. 求下列极限：(1)()()()2030503123lim 71x x x x →∞-++； （2） 1123lim 23n n n nn ++→∞++；（3）()33limh x h x h→+-;(4) 2112lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭; (5) 322lim 2121x x x x x →∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭; （6）()23arccot lim 5x x x x x x →∞---; (7) 1111393lim 1111242nn n →∞++++++++L L ; (8)123lim 22n n n n →∞++++⎛⎫- ⎪+⎝⎭L ; (9) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→)1(21ln lim 21x x x . 解：(1)()()()2030203020305050501332312332lim lim 77117x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2） 1112232()32333lim lim lim 32223()1133n nn n n n nnn n n nn+++→∞→∞→∞+++===+++； （3）()33222200033limlim lim(33)3h h h x h x x h xh x xh x hh→→→+-+==+=;(4)222111122111 lim lim lim11(1)(1)12 x x xx xx x x x x→→→-+⎛⎫-=== ⎪----+⎝⎭;(5)3232222111 lim lim lim11 2121(21)(21)4(2)(2)x x xx x x x xx x x xx x→∞→∞→∞+⎛⎫+-=== ⎪-+-+⎝⎭-+;（6）()23arccotlim5xx x xx x→∞---; 因为arccot xπ<，且223211lim lim01551x xx x x xx xx x→∞→∞--==----，所以()23arccotlim05xx x xx x→∞-=--(7)111111()311111111()3339333lim lim lim111114411()1()24222112nnnn n nn nn++→∞→∞→∞++-++++--===++++---LL;(8)(1)12312lim lim lim22222(2)2n n nn nn n n nn n n→∞→∞→∞+⎛⎫⎪++++-⎛⎫-=-==-⎪⎪+++⎝⎭ ⎪⎝⎭L;(9)22111111limln ln[lim]ln[lim]ln102(1)2(1)2x x xx x xx x→→→⎡⎤--+====⎢⎥--⎣⎦.3.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-=,113,1)(32xxxxxxxf, 求).(lim),(lim),(limxfxfxfxxx-∞→+∞→→解：因为230031lim()lim11x xx xf xx++→→+-==-+，00lim()lim(1)1x xf x x--→→=-=-，所以lim()1xf x→=-，2331lim()lim01x xx xf xx→+∞→+∞+-==+，lim()lim(1)x xf x x→-∞→-∞=-=-∞。