函数的连续性
分段函数的极限和连续性
例 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)
21( 1)1( 21
)10( )(x x x x x f
（1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间．
分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．
解：（1）1lim )(lim 1
1
==-
-
→→x x f x x
11lim )(lim 1
1
==++→→x x x f
∴1)(lim 1
=→x f x
函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 2
1)1(1
x f f x →≠=
函数）x f (在点1=x 处不连续．
（3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）．
说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0
x f x f x f x x x x x x →→→+
-
=才存在．
函数的图象及连续性
例 已知函数2
4)(2
+-=
x x x f ，
（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；
（2）求）x f (的不连续点0x ；
（3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数．
分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0
x f x x →，再让)(lim )(0
0x f x f x x →=即可．
解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22,
当2≠x 时，.22
4)(2
-=+-=x x x x f
其图象如下图．
（2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2
2
-=-=-→-→x x f x x
因此，将）x f (的表达式改写为
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=--≠+-=)2(4)2(2
4
)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数．
说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．
利用函数图象判定方程是否存在实数根
例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523
=+-x x 是否存在实数根．
分析：要判定方程0)(=x f 是否有实根，即判定对应的连续函数)(x f y =的图象是否与x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可． 解：设152)(3+-=x x x f ，则）x f (是R 上的连续函数．
又038)3(,1)0(<-=-=f f ，因此在[]0,3-内必存在一点0x ，使0)(0=x f ，所以0x 是方程
01523
=+-x x 的一个实根．
所以方程01523=+-x x 有实数根．
说明：作出函数)(x f y =的图象，看图象是否与x 轴有交点是判别方程0)(=x f 是否有实数根的常用方法，由于函数152)(3+-=x x x f 是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．
函数在区间上的连续性
例 函数2
4)(2
--=
x x x f 在区间（0，2）内是否连续，在区间[]2,0上呢？
分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．
解：22
4)(2
+=--=
x x x x f （R ∈x 且2≠x ）
任取200<<x ，则)(2)2(lim )(lim 000
0x f x x x f x x x x =+=+=→→
∴ )(x f 在（0，2）内连续．
但)(x f 在2=x 处无定义，∴ )(x f 在2=x 处不连续． 从而)(x f 在[]2,0上不连线
说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．
函数在某一点处的连续性
例 讨论函数)0()11lim
()(+∞<≤⋅+-=∞
→x x x
x x f n
n
n 在1=x 与2
1=x 点处的连续性
分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．
明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x 以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得)(x f 的表达式，使解
答搁浅．
讨论)(x f 在1=x 与2
1=x 点处的连续性，若作出)(x f 的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据
定义进行解析论证．
由于)(x f 的表达式并非显式，所以须先求出)(x f 的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含n x ，故须分类讨论．
解：（1）求)(x f 的表达式：
①当1<x 时，x x x x
x
x f n
n n
n =⋅+-=
⋅+-=
∞
→∞
→0
101lim 1lim 1)(
②当1>x 时，x x x x
x x f n n
x -=⋅+-=⋅+-=∞→1
01
01)1(1
)1(lim )(
③当1=x 时，01
111lim
)(=⋅+-=∞
→x x f n
n x
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧+∞<<-=<≤=x x x x x f 1,1,010,0)(
（2）讨论)(x f 在1=x 点处的连续性：
1)(lim )(lim ,1lim )(lim 1
1
1
1
-=-===++→→-→-→x x f x x f x x x x
∴)(lim 1
x f x +
→不存在，)(x f 在1=x 点处不连续
（3）讨论)(x f 在2
1=x 点处的连续性：
2
1lim )(lim ,2
1lim )(lim 2
12
12
12
1=
==
=-+--→
→
→
→
x x f x x f x x x x
2
1lim )(lim ,2
1lim )(lim 2
12
12
12
1=
==
=-+--→
→
→
→
x x f x x f x x x x
∴)2
1
(21
)(lim 2
1f x f x ==
→
，)(x f 在21=x 点处连续．
根据函数的连续性确定参数的值
例 若函数⎪⎩⎪
⎨⎧
=≠+0
,0,)1()(3
x a x x x f x 在0=x 处连续，试确定a 的值
解：x x x x x f 3
)1(lim )(lim +=→→
,
)0(,)1(lim 3
3
1
0a f e x x x ==⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+=→ 欲)(x f 在0=x 处连续，
必须使)0()(lim 0
f x f x =→，故3e a =
说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．。