可选择两个不相平行的单位矢量a和b划分成并置的
平行四边形单位，点阵中各点阵点都位于平行四边 形的顶点上。矢量a和b的长度a=｜a｜， b =｜b｜
及其夹角γ称为平面点阵参数，如图所示
b
y
aγ
x
图 (b) 平面点阵，平面格子
立体点阵必可划分为一组平行的直线点阵，并可选
择三个不相平行的单位矢量a、b、c 划分成并置的平 行六面体单位，点阵中各点阵点都位于平行六面体 的顶点上。矢量a、b、c 的长度a=｜a｜， b =｜ b｜ ， c =｜c｜及其夹角α，β，γ 称为点阵参数，如 图所示
*写论文的顺序：先结构后性能。
¾ 工艺
结构
性能
• 制备工艺影响材料的结构。 • 材料的组分和微观结构决定材料的性能。 • 性能反映结构；通过结构表征来优化生长工艺。
结构对性能调控的典型事例
Outline
3.1 晶体和空间点阵
3.1.1 晶体和点阵的基本概念 3.1.2 点阵参数和阵点位置 3.1.3 点阵类型
3.2 晶系、布拉菲格子 3.3 典型的晶格结构 3.4 倒易点阵 3.5 晶格的对称性 3.6 晶体缺陷
4.1.2点阵参数与阵点位置
在点阵中以直线连结各个点阵点，形成直线点 阵，相邻两个点阵点的矢量a是这直线点阵的单位矢 量，矢量的长度a=｜a｜，称为点阵参数，如图（a）
a
图 (a) 直线点阵
平面点阵必可划分为一组平行的直线点阵，并
1) 晶体点阵的点子，代表着结构中相同的位置，称为点 阵点，或阵点，格点（也有文献称其为结点）。
2) 空间格子表征了晶体结构的周期性，当每个格点代表 一个原胞时，则该空间格子称为布拉菲格子。
3) 布拉菲格子只反映了晶体结构的周期性，而没有反映 其对称性。要反映对称性，还必须同时考虑结构基元 的具体情况。
2. 密堆积：由无方向性的金属键、离子键和范德华力等结合 的晶体中，原子、离子或分子等微观粒子总是趋向于相互 配位数高，能充分利用空间的堆积密度最大的那些结构。
密堆积方式因充分利用了空间，而使体系的势能尽可 能降低，而结构稳定。
Hale Waihona Puke 常见密堆积型式面心立方最密堆积（A1） 六方最密堆积（A3）
最密
体心立方密堆积（A2） 非最密
o 例：
9氯化铯晶格的布拉菲格子是简单格子。 9氯化钠的布拉菲格子是面心立方格子。
(a) (b)
(c) (d) 一维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点） (a) Cu ， (b) 石墨 ， (c) Se ， (d) NaC l
¾ 晶胞有两个要素
1. 晶胞的大小与形状：
由晶胞参数a，b，c，α， β，γ 表示。a，b，c 为六 面体边长，α，β，γ 分别
晶带轴的晶向指数[uvw]即为该晶带的指数。
• 晶带定律
根据晶带的定义，同一晶带中所有晶面的法线
都与晶带轴垂直。晶带轴用正点阵矢量r＝
ua+vb+wc 表 达 ， 晶 面 法 向 用 倒 易 矢 量 r* ＝
Ha*+Kb*+Lc*表达。由于r*与r垂直，所以，
rr∗
⋅
rr
=
(Har∗
+
Kbr∗
的方向来标志，上式中u, v, w必为互质的整数，实际上 用这三个互质的整数来标志晶向，写作[uvw]，称为晶 向指数。
• 等效晶向组成等效晶向族，通常用尖括号表示为 <100>,<111>, <110>等.
¾晶面
晶面：布拉菲格点可以看成分布在平行等距的平面系上，这些 平面称为晶面。
• 密勒指数 (hkl)：以晶胞的基矢a, b, c为坐标轴，用基矢长
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
这是普适定义，实际使用的基元是最小的结构基元— 原胞，相应的点阵是布拉菲点阵，即
晶体结构 = 布拉菲点阵 + 原胞
o 注意： 1) 布拉菲格子的每一个格点对应一个原胞。 2) 对于简单晶格来说，实际晶格本身和布拉菲格子完全 相同；在复式晶格中，每一种等价原子都构成和布拉 菲格子相同的格子。
子作长程无序排列的固体称为非晶态。
¾ 单晶体的几个概念：
1. 晶棱：晶体的外部晶面的交线。 2. 晶带：如果晶面间的晶棱相互平行，构成这些晶棱的晶面
称为一个晶带。平行晶棱的方向称为带轴。 3. 晶面（夹）角守恒定律：同一种晶体，不论其外形如何，
两个确定晶面的夹角的大小恒定不变。
¾ 配位数与密堆积
1. 配位数：一个粒子的周围最近邻的粒子数，可以被用来描 写粒子排列的紧密程度，这个数称为配位数。
( a 3a a ), (3a a a ), ( a a a ), (3a 3a 3a ) 4 4 4 4 44 444 4 4 4
¾晶列
• 晶列：布拉菲格点可以看成分布在平行等距的直线系 上，这些直线系称为晶列。这些直线的方向称为晶向。
• 晶向：任rr一=晶u列ar的+方v向br可+由w连cr接晶列中相邻格点的矢量
在晶体的空间点阵中，每个阵点都具有完全相同 的周围环境；在平移的对称操作（连结点阵中任意两 点的矢量,按此矢量平移）下,所有点都能复原；每个 点代表结构中相同的位置；它所对应的具体内容，包 括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排 列的结构，称为晶体的结构基元，简称基元(Basis)。 基元是指重复周期中的具体内容；点阵点是代表结构 基元在空间重复排列方式的抽象的点。如果在晶体点 阵中各阵点位置上，按同一种方式安置结构基元，就 得整个晶体的结构。所以
3.2 晶系、布拉菲格子 3.3 典型的晶格结构 3.4 倒易点阵 3.5 晶格的对称性 3.6 晶体缺陷
4.1晶体和空间点阵
红宝石，绿宝石、蓝宝石，雪花
YVO4
锗酸铋
电气石
¾晶体结构的特征
晶体内部的原子或分子按周期性规 律排列，这是晶体结构最基本的特 征。
晶体具有下列共同特性：
• 对称性：晶体的理想外形和内部结构都具有特定的对称性 • 均匀性： 晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。 • 各向异性：晶体种不同的方向上具有不同的物理性质。 • 固定熔点：晶体在熔化时，各部分需要同样的温度。 • 规则外形：理想环境中生长的晶体自发形成凸多面体外形。 • 使X射线产生衍射：衍射是晶体的固有特性。
立方 P、I、F a=b=c
α=β=γ=90°
无
二次旋转轴或镜面
三个互相垂直的二次旋转 轴或两个互相垂直的镜面 四次旋转轴或四次反轴
[ Physics Today, P55, Sep. 2007 ]
• 材料科学与工程上：metals、ceramics、 polymers
¾ 材料的性能取决于其化学组成和微观结构。当化学 组成确定后，材料的结构就决定其性能。而结构又 是和工艺条件紧密相联系的。因此，研究材料的结 构，不仅可以帮助我们判别材料的性能，而且也可 以使我们了解到生产工艺过程的变化情况。
+
Lcr∗
)
⋅
(uar
+
r vb
+
wcr)
=
0
由此可得：Hu+Kv+Lw=0
这也就是说，凡是属于[uvw]晶带的晶面，它 们的晶面指数(HKL) 都必须符合上式的条件。上面 关系式称为晶带定律。
¾ 晶体相关的基本概念：
1. 单晶：构成固体的原子作周期性有规则排列的固体。 2. 多晶：由细微小单晶无规排列的固体。 3. 非晶：至少在微米尺度内作周期性排列称为长程有序。原
七个晶系的点阵类型
晶系 点阵类型
点阵常数
特征对称元素
三斜 P
a≠b≠c
α≠β≠γ≠90°
单斜 P、C
a≠b≠c
α= γ=90° ≠β
正交 P、C、I、F a≠b≠c
α=β=γ=90°
四方 P、I
a=b≠c
α=β=γ=90°
三角 R
a=b=c
α=β=γ≠90°
六角 P
a=b≠c
α=β=90°, γ=120°
z
c
y
βγα b
a
x
图 (c) 空间点阵，空间格子
¾原子位置的坐标表示
o 表示出一个晶胞里面的原子就可以了：其他原 子就按照这个晶胞的样子重复。
o 以任意顶点为坐标原点，以与原点相交的三个 棱边为坐标轴，分别用点阵周期（a、b、c）为 度量单位，可表示晶格中任一点的位置（x y z）。 在有关晶体的结构因子等实际计算中，通常使 用实际的长度单位表示晶格中的原子位置。
第四章 晶体结构和空间点阵
Outline 4.1 晶体和空间点阵 (Crystal & Space Lattice) 4.2 晶系、布拉菲格子 4.3 典型的晶格结构 4.4 倒易点阵 (Reciprocal Lattice) 4.5 晶格的对称性 4.6 晶体缺陷
¾ 材料的分类：
• 按照是否有长程序，粗略地分为晶体和非晶体两大类。 • 按照位置有序和取向有序，可分为：
Outline
3.1 晶体和空间点阵
3.1.1 晶体和点阵的基本概念 3.1.2 点阵参数和阵点位置 3.1.3 点阵类型
3.2 晶系、布拉菲格子 3.3 典型的晶格结构 3.4 倒易点阵 3.5 晶格的对称性 3.6 晶体缺陷
4.1.3 点阵类型
晶体的基本性质和外形规律特征的根本原因在于它内部 的空间格子构造，在理想晶体中，其内部质点均按照格子构 造规律排列。平行六面体是空间格子的最小单位，整个晶体 结构可视为平行六面体（即晶胞）在三维空间平行的、毫无 间隙的重复堆砌而成。
是bc，ca, ab 的夹角。
2. 晶胞的内容： 晶胞内部粒子的种类，数目及它在晶胞中
的相对位置，由原子坐标参数 (x , y , z )规定。 按晶胞参数的差异将晶体分成七种晶系。