阅 的 读 2.空 间 向 量 基 本 定 理 内 容 教 3.向 量p在 单 位 正 交 基 底 1,e 2 ,e 3下 的 坐 标 e 材 4. (a1,a 2 ,a 3 ), (b1,b 2 ,b 3 ) a b 回 答 (1) b a1b1 a2b2 a3b3 a ______ 问 a λ b a a (2) //b( b 0 ) a1 λb1, 2 λb2 , 3 λb3 a 题
(3) 零 向 量 a b a b 0 a1b1 a 2b 2 a 3b 3 0 非 (4) a | ____ a a2 a3 | a (5)cos a,b _______
2 2 1 2 2
1.平 面 向 量 基 本 定 理 内 容 的
(6)dA B __________ __
104 2 442 ∴sin<a，b>＝ ＝ ， 51 3 17 104 ∴S▱＝2S△＝|a|· |b|sin<a，b>＝3× 17× ＝ 3 17 104.
【名师点评】 向量的数量积运算常用的处理 思路有两种，一是先求坐标再求点乘；另一个 是先利用多项式的乘法展开，再代入坐标求 解．在解题时应注意适当地选择求解方法．
例3
自我挑战 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱长为 2， 建立直角坐标系， 求正方体各顶点的 坐标及向量BD1及 A1C的坐标． → →
例4
已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)， 求： (1)(2a＋b)·a－2b)； ( (2)以a，b为邻边的平行四边形的面积． 【思路点拨】 (1)利用向量的坐标运算求出 2a＋b和a－2b的坐标，再利用向量的数量积求 解．(2)由a，b的坐标求出cos<a，b>后，转化 为sin<a，b>，再利用三，－2)＋(0，－1,4)
＝(4，－3,0)，
a－2b＝(2，－1，－2)－2(0，－1,4)＝(2,1，－
10)，
∴(2a＋b)· (a－2b)＝(4，－3,0)· (2,1，－10)
＝4×2＋(－3)×1＋0×(－10)＝5.
(2)∵a· b＝(2，－1，－2)· (0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7， |a|＝ 22＋－1 2＋－2 2＝3， |b|＝ 02＋－1 2＋42＝ 17， －7 a· b 7 17 ∴cos<a，b>＝ ＝ ＝－ . 51 |a||b| 3 17
例2
【思路点拨】 利用重心 的概念，再结合图形求得 结果．
→ → → → 2→ → 【解】 ∵OG＝OA＋AG ，而AG ＝ AD ， ＝ AD 3 → → OD－OA， → 1 → → 又 D 为 BC 中点，∴OD＝ (OB＋OC)， 2 → → 2→ → 2 → → → 2 ∴OG＝OA＋ AD ＝OA ＋ (OD －OA)＝OA ＋ 3 3 3 1 → → 2→ 1 → → → 1 × (OB ＋OC )－ OA ＝ (OA ＋OB ＋OC )＝ (a 2 3 3 3 ＋b＋c)．
课堂互动讲练
考点突破
空间向量基本定理及应用
应用空间向量基本定理时， (1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三 角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的 运算律进行． (2)若没给定基时，首先选择基．选择时，要尽 量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再 就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．


1 1 1 → → 1 1 ∴EF· ＝ × ＋(－ )× ＋ －2 ×0＝0. CF 2 2 2 2 → → ∴EF⊥CF，即 EF⊥CF. 1 → (2)由(1)知CE＝(0，－1， )， 2 → ∴|CE|＝
1 2＝ 5. 0 ＋－1 ＋ 2 2
2 2
例5：在正方体ABC A 1B1C1D1中，点E，F1 D 1 分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求B1与 E DF1所成角余弦 例6：正方体ABCD A 1B1C1D1中，点E，F分别 是BB1，D1B1的中点，求证：EF DA1
D1
F1 E1
C1
D1
F
A1
C1
A1
B1
B1
E D A B C A D B C
如图，在棱长为1的正方体ABCD- 1B1C1D1中， A E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长．
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【思路点拨】
建系
→ 确定所需点的坐标 → 求出相关向量的坐标 → 利用向量的夹角、距离公式求解 → 结论
【解】 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐 标系 Dxyz， 0，0，1 ，C(0,1,0)， 则 D(0,0,0)，E 2 1，1，0 ，G1，1，1 . F2 2 2 1 → 1 1 ∴EF＝ 2，2，－2 ， 1 → 1 CF＝ 2，－2，0 .
5．空间中向量的坐标及两点间的距离公式 若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 → (1)AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)dAB＝ 2 2 2 x2－x1 ＋ y2－y1 ＋ z2－z1 . (3)线段 AB 的中点坐标为
x1＋x2， y1＋y2， z1＋z2 . 2 2 2
→ → → → 2→ 21 → 而GH＝OH －OG ，又∵OH＝ OD ＝ · (OB ＋ 3 32 1 → OC)＝ (b＋c)， 3 1 1 → 1 ∴GH＝ (b＋c)－ (a＋b＋c)＝－ a. 3 3 3
已知在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心， 底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中 点，如图所示，以O为坐标原点，分别以射线DA， DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空 间直角坐标系．分别写出点A，B，C，D，E，F的 坐标． 【思路点拨】 通过特殊点(中点、轴上的点)来 求其他点的坐标．
例1：如图M，N分别 是四面体OABC的边 OA，BC 的中点，P，Q是MN 的三等分点，用向量 ,OB OA OC表示OP和OQ
O
M
A
Q
P
C
N
B
如图所示，空间四边形 OABC 中，G、H 分别 → → → 是△ABC、△OBC 的重心，设OA＝a，OB＝b ，OC＝c ， → → 试用向量 a、b、c 表示OG和GH.