例1、在正方体
ABCD—A1B1 C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、 CD 的中点 ， 求证： D1F 平面ADE
Z
D1
A1
D A
X
C1 B1
E
F
C Y
B
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1 , 0 , 0) ;
(2) a (1 , 1 , 1) , b (1 , 0 , 1) ;
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相
垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用 i , j ,
k 来表示.
空间直角坐标系：在空间选定一点
z
O和一个单位正交基底 i、j、k 。以点O为
原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数
k
轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这
i Oj
y
样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz
空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与 向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空 间几何关系时，首先要选定单位正交基底，进而确定各向 量的坐标。
练习2 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点 为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是 AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b |2 b b b12 b22 b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的 长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1)、 B( x2 , y2 , z2 )，则
高中选修2-1
空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量运算的坐标表示
复习引入：
共面向量基本定理:如果两个向量 a,不b共线,则向量
与向量 p共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (使x, y)
a, b
p xa yb
因此，平面内的任意一个向量 p，我们都可以用与该平面平
行的两个不共线的向量 a, b的线性组合来表示（ 称a,为b该平
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
d A,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
（2）、两个向量夹角公式
cos a, b a b | a || b |
a b (a 1b1, a2 b2 , a3 b3 );
a (a1,a2 ,a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a / /b a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ( ;R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
四、距离与夹角
2.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C(3 , 1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
五、应用举例
例1 已知A(3 , 3 , 1)、B(1, 0 , 5) ，求： A （1）线段 AB 的中点坐标和长度；
解：设 M(x , y , z)是 AB 的中点，则
x
点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的 平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面,yOz平面,xOz平面.
二、向量的直角坐标
给定一个空间直角坐标系和向
量 a,且设i、j、k为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯一的
有序实数组( a1, 2a, 3)a使 = a1i+a2j+ a3k a
D1 z
A1
C1 B1
D
xA
y
C
B
思考：设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则AB的坐标表示是什么？
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量 的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当cos a , b 1时，a 与 b同向； （2）当cos a , b 1时，a 与 b反向； （3）当cos a , b 0时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 时 0，夹 角在什么范围内？
a
即 向量如果起点平移到原点， 那么它的坐标表示就是其终点 的坐标
k i Oj
x
A(x,y,z) y
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有序实 数组(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵 坐标，z叫做点A的竖坐标.
练习1 如图建立直角坐标系,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为2，求正方体各顶点的坐标.
M
B
OM
1 (OA OB) 2
1 2
(3
,
3
,
1)
1
,
0,
5
2
,
3 2
,
3
,
O
∴点 M的坐标是
2
,
有序数组( a1, 2a, 3)叫a 做 在 a
空间直角坐标系O--xyz中的坐标，
记作.
a=( a1 , a 2, a3)
za
k i Oj
A(a1,a2, a3)y
x
在空间直角坐标系O--xyபைடு நூலகம்中，对空间任一点A,
对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组 z
x,y,z，使 OA=x i+y j+ z k
面的一组基底）
空间向量的基本定理：
存在如一p果 个三唯个一向的量有序a实,数b 不组共, cx面、，y、那z么,使对得空：间任一向量 ，
p xa yb zc
a, b, c 叫做空间的一个_基__底___
空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底 思考：基底能不能含有零向量？
一、空间直角坐标系
AM ______________
OB1 ______________
PQ ________________
D1 z
C1
A1
Q
M
B1
P
y
D
C
xA
O B
三、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则
a b (a 1b1, a2 b2 , a3 b3 ) ;