递归数列通项公式的求法确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。

求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。

基础知识定义：对于任意的*N n ∈，由递推关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 确定的关系称为k 阶递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项k a a a ,,,21 的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。

若f 是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。

求递归数列的常用方法： 一．公式法(1)设}{n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为d m n a a m n )(-+=； (2)设}{n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为mn m n q a a -=；(3)已知数列的前n 项和为n S ，则)2()1(11≥=⎩⎨⎧-=-n n S S S a n n n 。

二．迭代法迭代恒等式：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ； 迭乘恒等式： 112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- ，(0≠n a ) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题： 类型一：已知)(,11n f a a b a n n +==+，求通项n a ； 类型二：已知n n a n f a b a )(,11==+，求通项n a ； 三．待定系数法类型三：已知)1(,11≠+==+p q pa a b a n n ，求通项n a ； 四．特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根βα,，则其通项公式为nnn B A x βα+=（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根α，则其通项公式为1)1([--+=n n n B A x αα（1≥n ），其中A 、B 由初始值确定。

证明：设特征根为βα,，则,p =+βαq -=αβ所以12++-n n x x α=11++-+n n n x qx px α=n n qx x p +-+1)(α=n n x x αββ-+1=)(1n n x x αβ-+ 即}{1n n x x α-+是以β为公比，首项为)12x x α-的等比数列。

所以1121)(-+-=-n n n x x x x βαα，所以2121)(---+=n n n x x x x βαα(1)当βα≠时，则其通项公式为n n n B A x βα+=，其中αβαβ)(12--=x x A ，ββαα)(12--=x x B ； (2)当βα=时，则其通项公式为1)]1([--+=n n n B A x αα，其中ααα121,x x B x A -==五．代换法代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下类型五：已知c a b a ==21,，)0(11≠++=-+r r qa pa a n n n ，求通项n a 。

六．不动点法若αα=)(f ，则称α为)(x f 的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。

类型六：(1)已知0(1≠+⋅+⋅=+c da c ba a a n n n ，且)0≠-bc ad ，求通项n a ；(2)已知ca ab a a a n n n +⋅+⋅=+221，求通项n a ； 七．数学归纳法 八．构造法典例分析例1．数列{a n }中，a 1=1,a n+1>a n ,且)(2111221n n n n n n a a a a a a ++=+++++成立，求n a 。

例2．已知正数数列}{n x 满足：kk nn n cx x x 11)1(+=+，其中0,,*≠∈∈c R c N k ，求n x 。

例3．已知数列{a n }满足：112212,2,1++++===n n n n n a a a a a a a ，求n a 。

例4．已知)3(2,122121≥+===--n a a a a a n n n ，证明：该数列中的一切数都是整数。

例5．已知)(1,1*213321N n a a a a a a a nn n n ∈+====+++，求n a 。

例6．数列}{},{n n b a 满足)2(1,211≥-==--n a b b b a a nn n n n n ，q b p a ==11,且1,0,=+>q p q p ，求}{},{n n b a 的通项公式。

例7．已知q p pa a b a n n +-+==+211)1(,，求n a 。

例8．数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+++==+ ,2,1),24141(161111n a a a a n n n ，求n a 。

例9．已知nn n n n n n n b a b a b b a a a a +=+===++2,2,25,11121，求}{},{n n b a 的通项公式。

例10．已知数列}{},{n n b a 满足：⎩⎨⎧+=-=----θθθθcos s in s in cos 1111n n n n n n b a b b a a ，且θtan ,111==b a ，求}{},{n n b a 的通项公式。

例11．若数列}{n a 的前n 项和为)0(,1>=a a a S n ，且满足221n n n S aS a a ++=+，求}{n a 的通项公式。

拓展：若数列}{n a 的前n 项和为)0(,1>=a a a S n ，且满足)22(221<<-+-=+t S taS a a n n n ，求}{n a 的通项公式。

(参考答案：12sin sin --=n n a a θπθ，其中2cos t =θ) 例12．设数列}{},{n n b a 满足：0,100==b a ，且⎩⎨⎧-+=-+=+4783671n n nn n n b a b b a a ， 2,1,0=n ，证明：n a (,2,1=n ……)是完全平方数。

练习题：1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a练习答案：1．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+2．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=3．解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n n n na --∴=+- 4．解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++ 由12,a =得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+，135106n n a n -∴=-。