󰀁从做中学󰀁的实践与思考

󰀁󰀁󰀁从󰀁函数模型及应用󰀁教学实录谈起

王思俭󰀁(江苏省苏州中学󰀁215006)牛艳杰󰀁(苏州大学数学科学学院2008级研究生󰀁215006)

1󰀁教学实录师:我们已学习了函数的概念、图象与性质,以及指数函数、对数函数、幂函数等.利用这些函数,我

们就能研究一些日常生活、生产实践以及科学实验

等领域中的问题.下面看一份资料(屏幕显示):󰀁󰀁据国家统计局网站2006年统计资料显示,我国能源生产自1985年以来发展速度迅猛,1990年能源生产总量(折合亿吨标准煤)10󰀁4亿吨标准煤,1995年能源生产总量12󰀁9亿吨标准煤,2000年能源生产总量󰀁󰀁󰀁亿吨标准煤,2005年能源生产总量20󰀁6亿吨标

准煤.

师:你们能预测2010年我国能源生产总量吗?(学生开始讨论,有的动手画图,有的列表)

生:描点画折线图,可以估算出来.

师:画图需要数据,但问题中哪些数据是有用的,你是否需要筛选呢?

生:先列表,再画图.画前先选取坐标系.

年󰀁󰀁份1990199520002005

能源生产总量(亿吨)10󰀁412󰀁920󰀁6

师:坐标系中坐标轴的长度单位如何选取?

生:将1990取在原点,建立直角坐标系.

师:是否可以再简单一点?你们看年份相差5年,我们能不能想办法使数字简单化,但又不失去一

般意义.生:将1985年定在原点,1985对应数字0.于是

1990对应数字5,以此类推.这样就可以进行描点画

图了.

图1师:怎样估算2010

年能源生产总量呢?

生:根据这几点所画的线,运用函数解析

式方法进行估算.师:选用哪种函数

呢?生:凭直觉,图形󰀁长相󰀁很像抛物线,于是就选取二次函数.

师:同学们,解题就需要有一点直觉.回答得很

好!请同学们先计算.(教师巡视并观察学生的运算是否有误)

生:(板演)猜想模型是二次函数y=ax2+bx+c(a󰀁0).分别将A(5,10󰀁4),B(10,12󰀁9),C(20,

20󰀁6)的坐标代入,得

25a+5b+c=10󰀁4,100a+10b+c=12󰀁9,

400a+20b+c=20󰀁6,解得a=0󰀁018,b=0󰀁23,

c=8󰀁8.

即函数模型应该是y=0󰀁018x2+0󰀁23x+8󰀁8.师:现在我们可以估算2010年和2000年的能源

生产总量了吧?生:当x=15时,y=16󰀁3;当x=25时,y=

25󰀁8.故估计2010年的产量为25󰀁8亿吨标准煤,

2000年的产量是16󰀁3亿吨标准煤.师:好!现在请同学们看屏幕.(教师现场演示,

边操作计算机边讲解)

演示步骤:输入数据󰀁选中数据区󰀁点击插入󰀁图表󰀁XY散点图󰀁完成󰀁对准散点图中的点

右击󰀁添加曲线趋势图󰀁多项式,再点击󰀁选项󰀁󰀁点击󰀁显示公式,R2值󰀁󰀂确定(图2).

图2师:通过电脑计算出的结果与同学们用手工计

算的结果完全相同.同学们还有没有其他的数学模型?请大家自由发言.

生:我感觉还可以用指数函数模型进行模拟.设

y

=b󰀁ax+c,其中a,b,c为常数,a>0,a󰀁1.分󰀁20󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁中学数学月刊󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁2011年第3期别将A,B,C三点的坐标代入,得b󰀁a5+c=10󰀁4,

b󰀁a10+c=12󰀁9,

b󰀁a20+c=20󰀁6.(此时学生望式兴叹,不知如何下手)

师:是否可以先消去c,化成关于a,b的二元方

程组后再进行求解?关于a的a5,a10,a20,我们又怎样处理?

生:换元法,令a5=t,方程组化为

b(t2-t)=2󰀁5,b(t4-t2)=7󰀁7.消去b后化成25t2+25t-77=

0,所以t=5+33310󰀁2󰀁325(舍负).从而a󰀁

1󰀁32,b󰀁0󰀁658,c󰀁8󰀁4771.y=0󰀁658󰀁1󰀁32x+

8󰀁4771.当x=15时,y=16󰀁747;当x=25时,y=

27󰀁704.师:解决得很好!与上述模型比较哪一个更接近呢?

众生:二次函数模型较好.师:有的同学提出用电脑操作,再看结果.现在

看屏幕.(教师操作)

师:电脑显示的结果与我们选择的指数类型结果相差很大.特别是当x=25时,电脑上的结果是y

=25󰀁7974(图3),这说明我们的选择有不合理的

因素.那么,怎样选择模型才能较好地拟合数据呢?同学们还有其他数学模型吗?是否可以用最简单的

模型来刻画呢?请大胆发言.

图3生:直线AB的方程为y=0󰀁5x+7󰀁9.当x=15时,y=15󰀁4;当x=25时,y=20󰀁4.直线BC的

方程为y=0󰀁77x+5󰀁2.当x=15时,y=16󰀁75;当x=25时,y=24󰀁45.结合问题的要求以一次函数y=0󰀁77x+5󰀁2为模型较好.生:老师,我们再看计算机是怎样选取模型的!

(学生的求知欲望已经超出教师的预料)师

:好,我们再用计算机进行数据拟合.(教师实时操作)

生:按计算机处理的直线方程y=0󰀁6929x+6󰀁55(图4),我们验算所列出的三个点均不在这条直线上,那么这样的数学模型合理吗?

图4师:这位同学的质疑很好!刚才一个同学用两

种直线方程作为模型,均不合适,而计算机给出的模

型又不经过这三个点,这个方程是如何推导出来的呢?原来在平面直角坐标系中选取一条直线,使这些

已知点到此直线的距离之和最小,误差就最小(画草图).这样的直线就叫做回归直线,对应方程就叫做

线性回归方程.以后我们还会继续研究.

师:还有没有其他函数模型?(学生讨论交流)生:我们认为选取幂函数作为函数模型也可以.

师:敢于设想,不错!说说你的思路.

生:设函数y=axb+c,其中a,b,c均为常数.将

三个点的坐标代入,得方程组a󰀁5b+c=10󰀁4,

a󰀁10b+c=12󰀁9,

a󰀁20b+c=20󰀁6.转

化为a󰀁5b(2b-1)=2󰀁5,

a󰀁5b󰀁2b(2b-1)=7󰀁7.得2b=7󰀁72󰀁5=3󰀁08,故

b=ln3󰀁08ln2.下面不会计算了.(如何计算a,b,c的

值?学生又陷入困境,教师及时指导,提示利用对数

与指数的知识求解.有的学生提出用计算器计算)

师:下面我们用计算机来计算,我说操作要点和

公式的输入方法,请一位同学来操作.(师说生做)

生:b=1󰀁623,5b=13󰀁626,代入方程组求出a

=0󰀁088,c=9󰀁198.故函数的解析式为y=

0󰀁088x1󰀁623+9󰀁198.

师:很好!再请一位同学来演示计算x=15和x

=25时的函数值(略).

师:函数模型的选取对于我们的计算是一种严

峻的考验.现在我们再来看用计算机进行数据拟合

结果如何?也请一位同学仿照我前面的操作过程来

演示(图5).

师:我们已经选取了四种不同的函数进行研究,

发现结果均不相同,R2越接近于1,说明函数模型就

越好.比较上述四种模型,大家可以看出哪个较好?

生:第一是二次函数、第二是指数函数类型、第

三是一次函数、第四是幂函数类型.󰀁21󰀁2011年第3期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁中学数学月刊󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁

图5师:很好!现在我们看一看2000年的能源生产总量究竟是多少?最终我们再来确定选取哪一种模

型.(学生热切等待老师的数据出笼)师:事实上,2000年我国能源生产总值是9.88

亿吨标准煤.(此时的课堂气氛非常热烈,大家均不

相信老师报出的数据.)众生:不可能.老师你能解释这是为什么吗?

师:我从网上查出的这个数据:1996年13󰀁26,1997年13󰀁24,1998年12󰀁40,1999年10󰀁41,2000年

9󰀁88.为什么会出现这种现象呢?1997年7月东南亚

爆发的全球性金融风暴影响了我国的各行各业的生产.这从另一方面也告诉我们,要尊重事实,不能凭

空捏造数据.

师:哪一位同学总结数学建模的步骤?生:第一步:读懂实际问题,选取有用的数据;第

二步:选取恰当的数学模型:第三步:求解数学模型

图6(解数学类问题);

第四步:检验结果

是否符合实际问题.

师:总结概括

得很好!其实就是

这张流程图(图6).

今天的课就上到这里.作业是课本第88页习题

2󰀁6第3,4两题,同时完成实验报告.

2󰀁教学反思2󰀁1󰀁对数学建模学习方式的思考

数学建模教学,不仅仅是数学解题教学,也是探

究和应用数学知识的教学,是促使学生󰀁从做中学󰀁

的一种重要的教学方式.探究活动就应立足于󰀁做󰀁

而不应该是立足于󰀁讲󰀁,应是学生讨论、探索、自主

解决问题的过程.

本节课一开始,教者就让学生阅读一段文字,从

读文字的过程,学会提取相关数据,继而让他们自己

提问题󰀁如何找回丢失数据?如何预测2010年的产量?󰀁等等,组织他们讨论寻找解决问题的策略.因此,在教学过程中,教师采用小组讨论交流、互助合

作学习的教学方式,让不同水平的学生都能积极主

动地参加到探究活动中来,并能根据自己的学习情

况,提出不同的解决问题的策略、不同层次的观点,使更多的学生乐意和渴望参与到数学建模过程中

来,获得积极的情感体验.从整节课看,学生一直都

是处于主动参与、积极思考的状态,不少学生敢于提出自己的见解,让学生学会怎样用󰀁数󰀁眼看世界,

体会数学的应用无处不在的感觉.

2󰀁2󰀁对数学建模教学中教师的思考

(1)课堂教学的策划者一节课的成败,关键是看教师如何把控课堂、主

导课堂,也就是看教师如何发挥其主导作用的.在数

学建模教学中,首先,教师要能设计恰当的问题情

境,这些问题可以唤起学生活动的积极性和创造性,使学生自然地生成一种对问题探索的心向.如本节

课的󰀁能源生产总量󰀁的情境,主要是来源于课本第

88页练习2,在设计时又将数据更换,利用国家统计局的有关数据,将2000年的数据空出来,给学生留

下悬念,激发他们的兴趣,让他们有急切解决问题的

欲望.这样的问题深深打动了学生,这些数据吸引学

生的眼球,为学生主动参与创设了情境.其次,教师要能创设一个宽松、和谐的课堂氛围;再次,教师要

能为学生搭建探究活动必要的脚手架,在他们遇到

困惑时,给予适当的引导和启发,但并不代替学生做

出决断;最后,教师要能在课堂教学的组织中渗透对学生󰀁想用、能用、会用、活用󰀁数学知识的意识和求

真、求实、创新的科学精神的培养.

(2)学生活动的参与者

教师也应该积极参与学生的讨论,这时教师要与学生平等对话交流,教师的身份就是学生的朋友,

这是因为对话、沟通、合作、交流已经成为现代数学

教学方法突出的特点.传统教学中总是单向的,教师包讲到底,或者自问自答,或者简单提问,对学生的

观点一概不问,所写的非学生所答的.但这种师生交

流的匮乏对教学效果的不良影响已逐渐得到重视,

课堂越来越被看成是互助合作、对话交流的融洽的学术讨论场所,真正做到让学生知无不言,言无不

尽.而数学建模探究学习方式可以给学生提供更多

的自我展现的机会,发表自己的见解、讲出自己的解

决问题的思路.特别是关注学习有困难的学生,帮助他们分析受阻的原因,并帮助他们重新制定解决问

题的方案,对于他们一点点好的想法,教师都应给予

积极的鼓励,增强他们直面挑战、战胜困难的勇气和󰀁22󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁中学数学月刊󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁2011年第3期