X^^n X Ian ^x 2-a 1x nU由传递函数转换成状态空间模型一一方法多！!!SISo 线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISOy(n )+a 1y (2)+a2y (2)+…+a n y =b 0u(m )+b 1u (m ^1)+…+b m u(n ^m )b °s m b,s mb mS nyS2 a 2s n ^■ a n外部描述W 实现问题：有了内部结构一-模拟系统内部描述X = Ax +bu y =cx + du实现冋题解决有多种方法，方法不同时结果不同直接分解法 因为Y(S) Z(S) _ Z(S) Y(S) U(S) Z(S) U(S) Z(S)n~~1ds m b 1s m' •… bmQ SS a I S亠亠a n 」s a n:Y(s) =(b °s m+b 1s m'+…+b m^s + b m )Z(s) IU(S) = (s n +a 1s n ' *八 +a n jS + a n)Z(s)对上式取拉氏反变换，则jy = b 0Z (m)+b 1z (m4∙) +…+b m'Z + b m Z<(n)丄(n4) IB ・■IU=Z +a 1z+ +a n 4z+a nzX 2 = X 3G(S) = SlSo按下列规律选择状态变量,即设X 1 二乙X 2 =乙,X nZ),于是有X iX；式中，|心为n -1阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。

只要系统状态方程的系数阵A和输入阵b具有上式的形式，C阵的形式可以任意, 则称之为能控标准型。

则输出方程y =b°X n b i X n」b mi X2 b m X i写成矩阵形式S IX2y= [bmbm」b i b0 ]'X n」-X n 一分析A,b,c阵的构成与传递函数系数的关系。

在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A、b、C矩阵的所有元素。

例：已知SISo系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型Y(S) _ 3 8s3 2U (S) S 3s 2s 4解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即写成矩阵形式XnA.Xn J J- a n"x；l - 0 Ir X J「0]X2—a1 一x3 一r」"01—4Ir x JJJ■xj-x jb0] X2 =[3 0]| n Λ|__a3X2X2若选择状态变量X- Ix 1X 2…Xnl r满足下列条件（如何考虑？）X nJL = y+a ιy — b o ux n ∕ = Y + a ιy + a 2y - b 0U - b I U■ an’y -b o u "”') -b i u (m')-」"-b m 」ua *y _b o u (m 」)_ b ιu "m^) - - b m U考虑式y(n )+a 1y (n ')+a 2y (n ')+■■" +a n y =b 0u(m )+b ∣u (m ')+…+b m u(n X m )设系统的输出y = X n ,依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带 入第三式；依次类推，便得到X L = -a n X n b m U X^X^a nJ X nb m 」UX n r X n 4 PX nb °U写成矩阵形式fXi 1一0 0-an I 'X i 1^bm ^X 2一an JX 2bmJ- =I 2- + - UXn 4一a2X n-Ib iIX n I_a i _ -X n _b 0^X L 〕X 2 y=[0 0 …0 1]-X n^〕Xn J式中，InJ 为n -1阶单位矩阵。

只要系统状态空间表达式的 A 阵和C 阵具有上式 的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A 是互为转置，能控标准型输入阵b 和能观标准型输出阵C 互为转置，这种互为转置的关系被称为 对偶关 系。

将在第六章进一步讨论。

X 2 =yg )+a ιy2 +… X L H y (Z ■ ai y (n ^)"Xn」=X n _2-a 2X nb 1u通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。

（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B的元素。

（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即m = n ,状态空间表达式的输出方程中才出现DU项，否则D为零阵。

例：求前例的能观标准型的状态空间模型解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即X I0 0 -4 X I3x2]=1 0 -2 x2+8 u×3]P 1 -^LXdy =[0 0 1] l x1 x2X3卩串联分解法若SISo系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式G(S)= Y(S) =K(S ■ Z1)(S ■ Z2)(S ■ Z m)LU(S)-(S P1)(s P2) (S P n)G Y(S) _ K(S Z l)(S Z2) U(S) (s+ pj(s + p2)(s + p3)例：ILS + P1 S + P2 S + P3=K T+Z1_p2 . '1+ z2 _ p3S+P1i S + P2 八S")图示！！(n _ m)一 p 3Z1 - p2Mr X I l I■01X 2=0 一p2kX 2 + 01'x3-P 1B 一-1J并联分解法（对角标准型/约旦标准型一一特征值标准型）（一）若SISO 系统的传递函数极点互异，则可求得 对角标准型的模型。

当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式写成部分分式其中，C i，i =1,2,…，n 为待定系数，其值为C i=I S m G(S)(S + n)s-'i选择状态变量为（画图示意状态变量的取法）SX i (S) P i X i (S)=U(S)对上式拉氏反变换，得X i P i X i= U即X 1 = p 1 X 1 UJX^ P 2X 2 + U F X n= P n X n UG(S)Y(S) K(S Z ι)(S Z 2) (S Z m ) U(S)(S P l )(S P 2) (S P n )(n _ m)G(S)Y (S) U(S)c1 .c2Cns P 1 S P 2S P n=Σ CiV S ∙ P iX i (S)=些■s+ P ii =12…,n=1=Iim G (S )(S ,16 S 8 (S 2)(S 3)式中，系数矩阵A 为对角阵。

对角线上的元素是传递函数 G (S )的极点，即系 统的特征值。

b 阵是元素全为1的n × 1矩阵。

求对角标准型模型的输出方程中 C 的结构U(S)=(S P i )X i (S)nY(S)八 C i X i (S)1对上式拉氏反变换，得y 八 C i X i =[C i C 2C n ] l -X l X 2X n I T如果系统的状态方程的 A 阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。

多 变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制将 在第五章讨论。

系统的状态结构图如图所示。

例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换6 s + 83 2S 6 S 11s 6解：将G (S )用部分分式展开从而可得G(S)的极点，1= -1,,1=-2, ,1= -3为互异的，求待定系数C写成矩阵形式X i - P i X _ I- PnY(S)八U(S)Y (S ) U (S ) 6 S 8(S 1)(S 2)(S 3)c 2= Iim G (s )(s ，2) = Iim 4 Jh (s +1)(s + 3)得对角标准型的转换为X I-1 0 0 X I1I ∙ IJX 2 = 0 -2 0 X 2+ 1 UX 3-3—X 3 一J 一y = 1 4 -5 ∣l x 1 x 2 x 3 I r（二）对SISo 系统式，当其有重特征值时，可以得到 约当标准型的状态空 间模型 此时模型的系数矩阵A 中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对 应的约当块，即Ji =设系统具有一个重特征值1,其重数为j ,而其余为互异的特征值，记为j 1 , Jn ,则传递函数可以用部分分式展开成G(S)-(S PJ j(S P 1)j'(S P 1)i(S P 1)式中，待定系数C 11,C 12,…Gj 对应的是重极点的待定系数，其值为 C1i 1 d (T =Z- ^l ∣m ’ g)[G(s)(s+ pj j] (i -1)! SudS其余互异根的待定系数 C i (^j 1, j 2/ ,n)求法同前。

画图示意状态变量的取法:C 3Iim G(S)(s ■ 3) IimJ ；6s 8 _ 5(S 1)(s 2厂" c1 jCj 1+ __ ___ +' (S P ) C i C n+ ___ ∑l ___+ (S P i ) (S P n )例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对约当准型的状态空间模型G(SrYS) 厂—U(S) (s+3) (s + 2)(s + 1)解：从已知系统地传递函数 G (S )可知，该系统为四阶，有一个重极点，重数为j =2，有两个互异的极点，即’1='2--3, '3--2,,4--1按部分分式展开C ∣ιC 12 C 3C 4G(S)2 1234(s+3) (s + 3) s + 2 S +1求重极点对应的待定系数C I『丄 Iim 嗒[G(s)(s glim3(1-1)! S zdS (I )si(s 2)(s 1)I 1. s …丄加…d 〔 3(s + 5)----- lim — [G(s)(s+3) ] = lιm — ---------- (2—1)!ikds ( 1十 ds ].(S + 2)(S + 1)_3(S 2 3s 2) -3(S 5)(2s 3)2 2(S 3s 2)求互异极点对应的待定系数C 3 ,C 4c 3Iim G(S)(S 2) Iim .. 3(s + 5)SM(S 3) (S 1)C 4 =Sim 4G(S)(S∙" S im J3(s 5) 2(S 3) (s 2)可得约当标准型的模型为X 2——严_√4 一I_0 X i -3 1 : 0i- 3 ： 00 \ -2I0 ； 0 0X 2+ -1 — IlX 3U1 一1一一X I 1 _0 X i 0Ty - 3 6 -9 3⅛1X 2 : x3X 43(s 5) =6。