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3. 摩擦角与自锁
摩擦角的定义：当摩擦力达到最大值时其全反力 与法线的夹角称为摩擦角。
tgmFFmNax
fsFN FN
fs
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摩擦系数的测定：OA绕O 轴转动使物块刚开始下
滑时测出α角，tg α=fs , (即为该两种材料间的静 摩擦系数)。
2
dFd Qx(x)q(x),dM dx(x)FQ(x)
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例7 试导出理想流体(无粘性)的静力平衡微分方 程。设单位质量的体分布力为f。
解：在静止流体中取边长分别为dx,dy,dz的微小六面体, 受体积力FVf 及6个侧面上的表面压力作用. 考察左 右两侧面中点的压强大小如图所示，并视为整个侧面的 平均压强。
Mz
F Nx
F Qz
F Qy My
3KN
1KN 2KN
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1KN
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思考：如何求各段内力函数？
D
1m
3KN
2m
1KN 2 m
1m
2KN
A
1KN
分三段，三个坐标
如：将D处2m，改为x，则CD段 扭矩为常数，弯矩为线性函数
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5、变形体的内力计算
例5：已知 q、l 试求图示简支梁，横截面内
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研究对象：三根直杆+重物+缆绳
受力分析：汇交力系 F A, F B, F C , F P, W , FPW500kN
FAFA co6s0osin60oico6s0oco6s0o jsin60ok FB FB co6s0osin60oico6s0oco6s0o jsin60ok FCFC co6s0o jsin60ok FPFP co6s0o jsin60ok
F1
r
hG
M f1 max
FS A FN
F2
r
h
G
M f2 max
FS A FN
2）为什么轮胎气压不足时，行驶阻力增大？
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二 物系平衡问题解法
1.物系平衡的两个特点：
1)整体、单体、 任意各部分物体都是平衡体, 均 可取为分离体, 存在取必要分离体及先后顺序 问题。
2)约束力都是未知的, 但并非需求的, 需求力只 是全部未知力的一小部分, 存在列写必要平衡 方程问题.
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2.一般步骤：
力随轴线的变化规律（内力函数）。
解：约束力
ql FAy = FBy = 2
x
q
F AA y l
在x处作截面，研究左半段，受力如图
由
F y0 F Qq 2 lqx(0xl)q2 l
FBB y
x qx
2
M
FQ
由
M c 0
M q lx qx2(0x l) 22
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q
A l
FQ
ql 2
1) 凡取整体考虑能求出部分需求量的优先取整 体, 否则取单体或部分物体.
2) 凡所取单体或部分物体考虑能求出部分需求 量的优先取该单体或部分物体.
3) 巧取矩心、投影轴、尽量避免联立方程.常选 未知力的交点为矩心以及与多个未知力相垂直 的投影轴.
物系平衡的例
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§2.3 考虑摩擦时的物体平衡
摩擦平衡的例
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二. 滚动摩擦 滚动摩擦产生的原因:
G
F
O
A
FS
FN
F x0 F SF
F y0 F NG
M A Fr0 r为圆柱体半径
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G
F
O
G
F
O
A
FS
G
F O
A FS
a FN FR
Mf
FN FR
滚动摩擦产生的原因：重为G的圆柱体沿水平面运动时，因 为二者间的局部变形引起一种阻碍圆柱体与平面相对运动的 阻力，如图.将这些阻力向A点简化，可得一主矢和一主矩
WWk
Fx0: FBFA0 Fy0: FBFAcos60oFCFP0 Fz0: FAFBFCFPsin60oW0
FA FB 569kN FC 69kN
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2、平行力系 例2 起重机的稳定性问题,求Gomin, xmax(p57例2-2).
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3、力偶系
例3 已知:盘径均为d，AB=l，各力大小相同均为本F. 试确定轴 承A，B的约束力(P60例2-5)。
解： M 1M 2F d ,M 1 M 2 由封闭的力偶矩三角形,得
MAB 2Fd
故
FA
FB

MAB l
2Fd l
位于垂直于MAB的平面内,即与x,或y轴夹角为450,与 xy面垂直的平面内,指向由右手法则定.
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4、一般力系
例4：试求图示折杆的固定端处约束力。
解： 折杆的受力如图b。
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2)三种习题类型: (1)物体肯定能平衡,摩擦力按静摩擦状态处理. (2)物体处于临界摩擦状态，摩擦力按临界状态处理. (3)物体能否平衡不能预先确定,可先假设平衡,待求出 摩擦力和法向约束力后,再作如下判断:
①若 FS fsFN ,则物体平衡成立; ②若 FS fsFN ,则物体平衡不成立.
6
平面汇交力系,取汇交点为坐标原点
F x 0 , F y 0
平面平行力系,取y轴平行于各力
F y 0 , M z 0
平面力偶系
Mi 0
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3. 平衡方程要点
（1）力系平衡时，对任意轴x，有 F x= 0 M x0
（2）各类力系独立平衡方程数
空间 平面
一般 6 3
平行 3 2
tgmFFmNax
fsFN FN
fs
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自锁的概念与条件：
m
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思考： 1)已知fs,求为何值时自锁？
FP
90o
FP
2)鄂氏破障机， 多 咬大 入时 角，矿石不
汇交 3 2
力偶 3 1
可用于判断问题是否可解
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思考：下列问题是否可解？
F
F
M
三杆平行
三杆汇交
G
4杆汇交
F
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M
两杆平行 4杆平行
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三、简单平衡问题
1、汇交力系
例1 三根直杆AD，BD，CD在点D处互相联结构成支架，
ABC组成等边三角形，各杆和缆绳与地面的夹角均为60o， W=500kN的载荷。求平衡时各杆的轴向压力。
由 Fy 0 ，得
pdxdz(p p ydy)dxdzfydxdydz0
故
fy
1
p y
0
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同理可得
fx
1
p x
0
故有
fz
1
p z
0
1p p p
fxifyjfzk(xiyjzk)
即
f 1 p
式 中 ： f= fx i fyj fzk , p p xi p yj p zk
M
2
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4.考虑滑动摩擦的平衡问题
1)三个要点: (1) 在静摩擦状态,摩擦力的方向可以假设,大小由 平衡方程定.
在临界摩擦状态,摩擦力的方向不能假设，要根 据物体运动趋势来判断,大小由方程 Fmax fsFN . (2) 平衡有个范围,解也有一个范围,须用不等式表 达. (3) 解题方法：①解析法 ② 几何法
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思考：1）图示受力圆板平衡吗？
B
C
A
D
F
B
C
A
D
2）图示力系沿正方体棱边，
F
大小相等，平衡吗？若不平 F 衡，试加一力使之平衡。 F F
F F
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2.一般力系的平衡方程
1)基本形式 由 F i0M 0(F i)0向直坐标轴投影,得
F x0F y0F z0
M x 0 M y 0 M z 0 2)其它形式
由
Fx 0 FN 1kN Fy 0 FQy 2kN
剪力FQ2 5kN
Fz 0 FQz 13 4kN
由 Mx 0, MT 12214kNm
My 0, My 12328kNm
Mz 0, Mz 12226kNm
弯 矩 M 8 2621 0k N m
1m 2m
1KN
3KN
2m
1m
2KN
1KN
Mx
Mx
22
M
M
M
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F
Nr=5 Ne =6
一自由度机构
F
Nr=6 Ne =6
静定结构
F
Nr=7 Ne =6 一次超静定结构
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思考：试判断下列系统是否静定？
A f 0
G
B
C