2014‐2015学年度上学期《矩阵理论》期末试题 

一. 选择题: 

1. n󱈺󰵒2󱈻阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,则A的伴

随矩阵列空间的维数为( ) 

A. 0 B. 1 C. n D. 不能确定 

2. 设

是

n维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不

同的是( )

A.󰀃σ是单映射 B.󰀃dim󰵫Im󱈺

σ󱈻

󰵯󰵌n

C.󰀃σ是一一对应 D.󰀃σ适合条件σ󰭬

󰵌0

3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是( ) 

A. e󰭅

是实的反对称矩阵 B.󰀃e󰭅

是正交矩阵 

C. cos󰀃A是实的反对称矩阵 D. sin󰀃A是实的对称矩阵 

4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法 

① |

B|

󰵌0 ②B是幂等矩阵 

③ AB󰵌BA󰵌B ④r󱈺A󱈻󰵒r󱈺B󱈻 

正确的有( )个 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 设n维向量x󰵌󰬵

√󰭬󱈺

11⋯1󱈻󰭘

,n󰵒2, B󰵌I󰵆xx󰭘

,其中I为单位

矩阵,则下列选项正确的是( )

A. ‖

B‖

󰬵󰵌1 B. ‖

B‖

󰮶󰵌1 C. ‖

B‖

󰬶󰵌1 D. ‖

B‖

󰭊󰵌1

二. 填空题:

1.设e󰭅

󰵌󱉀ee󰬶

󰵆e

0e󰬶󱉁,则A󰵌 . 

2.设n阶方阵A的最小多项式为λ󰭩

󱈺

λ󰵆λ

󰬵󱈻

⋯󱈺λ󰵆λ

󰭬󰬿󰭩󱈻, 其中n󰵒k󰵒

2,λ

󰬵,λ

󰬶,…,λ

󰭬󰬿󰭩全不为0, 则 dimR󱈺A󰭩󰬿󰬵

󱈻= ; 

3. 设A󰵌󰵭110

001

001󰵱,矩阵󰀃sinA的Jordan标准形J

󰭱󰭧󰭬󰭅󰵌 . 

4. 矩阵A󰵌󰵭111

122

123󰵱，A的Cholesky分解A󰵌LL󰭘

，下三角矩阵

L . 

5. 设给定矩阵A󰵌󱉀20

12󱉁，B󰵌󱉀󰵆10

2󰵆1󱉁, 矩阵空间R󰬶󰵈󰬶

上线性变

换T为:󰀃T󱈺

X󱈻

󰵌kX󰵅AXB, ∀X∈R󰬶󰵈󰬶

. T是可逆变换当且仅当参数k

满足条件 . 

三. 设V是有限维欧氏空间, u∈V是一个单位向量, V上线性变换σ定

义为: 对任意x∈V, σ󱈺

x󱈻

󰵌x󰵆a󱈺x,u󱈻u. 

(1) 试求非0实数a,使得σ是V上正交变换. 

(2) 多项式空间R󱈾x󱈿

󰬷中的内积定义如下: 对任意f󱈺

x󱈻

,g󱈺

x󱈻

∈R󱈾

x󱈿

󰬷, 

󱈺

f󱈺

x󱈻

,g󱈺x󱈻󱈻

󰵌

󰗬f󱈺

x󱈻

g󱈺x󱈻dx󰬵

󰬴. 试求R󱈾x󱈿

󰬷中向量α󰵌1和β󰵌x的长度; 

并求正实数k和单位向量u∈R󱈾x󱈿

󰬷, 使得上述正交变换σ将向量α变成

kβ. 

四. 设A󰵌󰵮0010󰵆1

1󰵆1011

󰵆111󰵆1󰵆2

1󰵆1110󰵲 (1)求矩阵A的一个满秩分解LR,使得L的第一列为矩阵A的最后一

列, 并给出A的列空间R󱈺A󱈻的一组基; 

(2)求A的左零化空间N󱈺A󰭘

󱈻的一组基; 

(3)设b󰵌󰵮1

1

1

1󰵲, 求向量b在线性空间R󱈺A󱈻上的最佳近似. 

(4)设σ是线性空间R󰬸

上的正交投影变换,且满足σ的像空间

Im󱈺

σ󱈻

󰵌R󱈺A󱈻,试求σ在标准基e

󰬵,e

󰬶,e

󰬷,e

󰬸下的矩阵. 

五. 设矩阵A󰵌󰵭󰵆1󰵆22

12󰵆1

󰵆1󰵆12󰵱. 

(1)求矩阵A的Jordan标准形J; 

(2)试求一个可对角化矩阵D和一个幂零矩阵N,且DN󰵌ND, 使得

A󰵌D󰵅N. 

(3)计算e󰭅󰭲

; 

(4)设x󱈺0󱈻󰵌󱈺

123󱈻󰭘

. 求定解问题x󱇱

󱈺

t󱈻

󰵌Ax󱈺

t󱈻

的解. 

六. 设σ是由线性空间R󰭫

到线性空间R󰭬

上的线性变换, 其中m󰵑

n. 

(1)试证: 存在R󰭫

到R󰭫

上的幂等变换τ,及R󰭫

到R󰭬

上的单变换φ,使

得σ󰵌φ∙τ 

(2)令m󰵌2,n󰵌4, 线性变换σ为:σ󱈺

x,y󱈻󰭘

󰵌󱈺x,y,2x,󰵆y󱈻󰭘

. 试求

R󰬶

上一组标准正交基,及R󰬸

上一组标准正交基, 使得线性变换σ在这两组基下的矩阵为对角线元素均非负的4󰵈2矩阵. 

七. 证明变换tr:X→tr󱈺X󱈻是线性空间M

󰭬󱈺R󱈻到R的满足性质:󰀃σ󱈺

XY󱈻

󰵌

σ󱈺YX󱈻及σ󱈺

I󱈻

󰵌n的唯一的线性变换.