由于x1,x2 0,+ 得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0
x 2 - x1 1 1 = f(x1)- f(x2)= x1 x 2 x1 x 2
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2).
函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数. （2）在区间（- ∞ ，0）上，同理可得到函数 f(x)=1/x 在（- ∞ ，0）上是减函数。
a<0

单调性
减函数
增函数
增函数
减函数
1 0.5 2.函数y = x ∈ 2, 5的最大值为 x 0.2 最小值为
3.已知函数f(x)在 -∞, 2 上单调递增, 在 2, +∞ 上
最大 值为 f(2) 单调递减则f x 有
单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图 象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调 区间上, y=f(x)是增函数还是减函数?
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
4.函数y = x2 + 4x + 2在区间-3, 5 上的最小
-2 值为
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增，
则函数y=f (x)的最值是什么？
y
f(n)
当x=m时，f (x)有最 小值f (m)，当x=n时,f (x) 有最大值f (n).
m
O
n
x
f(m)
(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数 y=f(x)的最值是什么？
于是
即
f(x1 ) - f(x2 ) > 0
f(x1 ) > f(x2 )
所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得 最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1，在
x=5时取得最小值为0.5.
课堂小结
1、单调函数的图象特征；
2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤； 4、函数的最值： 最大值
2 h(t) = -4.9t +14.7t +18的图像。显然， 解：做出函数
函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距 地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数 h h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18 ，我们有
20 15 10 5
14.7 当t = = 1.5 时，函 2 (-4.9) 数有最大值
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在区间D
上是减函数 ,如图2.
y
y=f(x) f(x1) f(x2) x x2
y
y=f(x) f(x1) 0 x1
f(x2)
x2 x
0
x1
图1
图2
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质. 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1， x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是 增函数和减函数.
1 即函数 f(x) = - - 1 在区间（0，+∞）上是单调 x 增函数.
探究
1 画出反比例函数 y = 的图象． x 1 这个函数的定义域是什么？
{x∣x≠0}
2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结 论． y 分两个区间(0，+∞)，（- ∞ ，0）来 考虑其单调性. 0 x
证明：（1）在区间(0，+∞)上，设x1,x2是(0，+∞)上 任意两个实数，且x1<x2，则
用定义证明函数单调性的步骤是： （1）取值
即取 x1 , x 2 是该区间内的任意两个值且 x1 < x2
（2）作差 即求 f(x1 ) - f(x2 )
（3）变形
通过因式分解、配方、有理化等方法
（4）定号
即根据给定的区间和
x2 - x1 的符号来确定
f(x1 ) - f(x2 ) 的符号
（5）结论
增大 随着 ______. 5 -5 o
f(x)=x
5
-5
问题2
2 f(x) = x 画出 的图像，并观察图像.
(-∞,0] 上，f(x)的值随着x的增大而 1、在区间 ________ 减小 ______. 2 f(x) = x (0,+∞) 上， 2、 在区间 ________ f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而 5 增大 _____. -5 o 5
思 考
能否仿照函数的最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义呢？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实
数M满足：
（1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 x0 I ，使得 f(x0 ) = M ，
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.
(x 2 - 2) - (x1 - 2) x 2 - x1 1 1 f(x1 ) - f(x 2 ) = = = . x1 - 2 x 2 - 2 (x1 - 2)(x 2 - 2) (x1 - 2)(x 2 - 2)
由于 3 x1 x2 5, 得 x2 - x1 > 0,(x1 - 2)(x2 - 2) > 0,
根据单调性的定义得结论
1 例2 求证：函数 f(x) = - - 1 在区间 x 调增函数．
上是单 + 0，
证明：在区间（0，+∞）上任取两个值 x1 , x且 2 x1 < x2 ，则
1 1 x1 - x 2 f(x1 ) - f(x2 ) = - + = x1 x2 x1x2 x1x2 > 0 ，所以说 又因为 x1 - x2 < 0 ， f(x1 ) - f(x2 ) < 0
对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1时, y＝1; 当 x＝2时, y＝3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变 量 x的增大而增大吗? y
3 1 0 1 2
x
函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函
数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
问题1
画出f(x)=x的图像，并观察其图像。 上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?
, )上，随着 x 的增大， f(x) 的值 2 、在区间 (________
思 考 思 考
函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？
是
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对 定义域内任意x都有 f(x1 ) f(x) f(x2 ) 成立，由 此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b， 最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？ 函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
k y = (k 0) x
函数
k >0
k <0
k >0

k <0

单调区间 (-, + ) 单调性 增函数 减函数
减函数
增函数
y = ax2 + bx + c (a 0)
函数
a>0
单调区间

-5
函数单调性的概念：
1．增函数
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1 ，
x2 ，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说 f(x) 在
区间D上是增函数,如图1 .
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于 定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ，
最小值

5、函数的最值的求法
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值;
（2）利用图象求函数的最值; （3）利用函数单调性求函数的最值 .
高考链接
1 （ 2007年广东）函数f x = 1- 在区间 的 x 2 最小值为 3
1.填表
课堂练习
y = kx + b（k 0）
f(n)
O
m
பைடு நூலகம்
l
n
x
例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: h t = -4.9t 2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少
精确到1米 ?
下列两个函数的图象： y
M y
观察
M
x
o x0
图1
o
图2
x0
x
思 考
观察这两个函数图象，图中有个最高点， 那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？
思 考
设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？ f(x)< M
例如函数f x = -x2 +1 x∈R
y
当x=m时，f (x)有最