第1页，共19页 2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷（文科）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合𝐴={𝑥|−2<𝑥<1}，𝐵={𝑥|𝑥2−3𝑥≤0}，则𝐴∩𝐵=( )
A. (0,1) B. (−2,3] C. [0,1) D. (1,3]
2. 命题“∀𝑥∈𝑅，𝑒𝑥−𝑥2>0”的否定是( )
A. ∃𝑥0∈𝑅,𝑒𝑥0−𝑥02>0 B. ∃𝑥0∈𝑅,𝑒𝑥0−𝑥02≤0
C. ∃𝑥0∈𝑅,𝑒𝑥0−𝑥02≥0 D. ∃𝑥0∈𝑅,𝑒𝑥0−𝑥02<0
3. 已知𝑎>0，𝑓(𝑥)={𝑙𝑜𝑔2𝑥(𝑥>0)𝑎𝑥−1(𝑥≤0)，且𝑓(−2)=3，则𝑓(𝑓(14))=( )
A. 3 B. −3 C. −4 D. −34
4. 等比数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎2=2，𝑎6=8，则𝑎4=( )
A. ±4 B. 4 C. −4 D. 16
5. 由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )
A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D. 以上都不是
6. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和𝑀.在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为𝑃(𝐴)，取自M区域的概率记为𝑃(𝑀)，则( )
A. 𝑃(𝐴)>𝑃(𝑀)
B. 𝑃(𝐴)<𝑃(𝑀)
C. 𝑃(𝐴)=𝑃(𝑀)
D. 𝑃(𝐴)与𝑃(𝑀)的大小关系与半径长度有关
7. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为2𝜋3，面积为3𝜋的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8. 下列函数中，最小正周期为𝜋且图象关于原点对称的函数是( )
A. 𝑦=cos(2𝑥+𝜋2) B. 𝑦=sin(2𝑥+𝜋2)
C. 𝑦=sin 2𝑥+cos 2x D. 𝑦=sin 𝑥+cos x 第2页，共19页 9. 最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，△𝐴𝐵𝐶满足“勾三股四弦五”，其中股𝐴𝐵=4，D为弦BC上一点(不含端点)，且△𝐴𝐵𝐷满足勾股定理，则cos<𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=( )
A. 35
B.
45
C.
34
D. 512
10. 在△𝐴𝐵𝐶中，设a，b，c分别是角A，B，C所对的边长，且直线𝑎𝑥+𝑦𝑐𝑜𝑠𝐴−𝑐𝑜𝑠𝐵=0与𝑥𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑏𝑦+𝑐𝑜𝑠𝐴=0垂直，则△𝐴𝐵𝐶一定是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
11. 已知𝐹1，𝐹2是双曲线E的左、右焦点，点P在E上，∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋6且(𝐹2𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则E的离心率𝑒=( )
A. √3−1 B. √3+1 C. √3−12 D. √3+12
12. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−𝑒−𝑥)𝑥.若𝑓(log3𝑥)+𝑓(𝑙𝑜𝑔13𝑥)≤2𝑓(1)，则x的取值范围( )
A. (−∞13]∪[3,+∞) B. [13,3]
C. [13,1] D. [1,3]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若复数𝑧=𝑎2−1+(𝑎+1)𝑖是纯虚数，则实数𝑎=______．
14. 等差数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎1+𝑎4+𝑎7=30，𝑎3+𝑎6+𝑎9=24，则其前9项和𝑆9=______．
15. 曲线𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑥在点(0,𝑓(0))处的切线方程为______．
16. 已知正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的所有棱长都相等，M是棱𝐴1𝐵1的中点，则异面直线AM与BC所成角的余弦值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，△𝐴𝐵𝐶的面积为S，且𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑆．
(1)求tanB的值；
(2)若𝑐𝑜𝑠𝐴=35，𝑐=2，求b．
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18. 在贯彻精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户，工作组对这100户村民的年收入、劳动能力、子女受教育等情况等进行调查，并把调查结果转换为贫困指标x，再将指标x分成[0,0.2)，[0.2,0.4)，[0.4,0.6)，[0.6,0.8)，[0.8,1.0]五组，得到如图所示的频率分布直方图．若规定0≤𝑥<0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当0.8≤𝑥≤1.0时，认定该户为“低收入户”，当0≤𝑥<0.2时，认定该户为“亟待帮助户”.已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%．
(1)完成下列列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关．
(2)某干部决定在这两村贫困指标在[0,0.2)，[0.2,0.4)内的贫困户中，利用分层抽样抽取6户，现从这6户中再随机选取2户进行帮扶，求所选2户中至少有一户是“亟待帮助户”的概率．
甲村 乙村 总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计
附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．
𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.15 0.10 0.05 0.025
𝑘0 2.072 2.706 3.841 5.024 第4页，共19页
19. 如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，𝐴𝐵//𝐸𝐹，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，已知𝐴𝐵=4，𝐸𝐹=2．
(1)求证：平面𝐴𝐷𝐹⊥平面BCF；
(2)若几何体𝐹−𝐵𝐶𝐸和几何体𝐹−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积分别为𝑉1和𝑉2，求𝑉1：𝑉2．
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20. 已知双曲线𝑥23−𝑦2=1的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，△𝑃𝐹1𝐹2的周长为12．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)已知点𝑄(8,0)，是否存在过点Q的直线l与曲线C交于不同的两点M、N，使得|𝑀𝐹2|=|𝑁𝐹2|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
21. 已知函数𝑓(𝑥)=1𝑒𝑥−𝑎𝑥(𝑥∈𝑅)．
(Ⅰ)当𝑎=−2时，求函数𝑓(𝑥)的单调区间；
(Ⅱ)若𝑎>0且𝑥>0时，𝑓(𝑥)≤|𝑙𝑛𝑥|，求a的取值范围．
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{𝑥=√3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃(𝜃为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线L的极坐标方程为𝜌𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝜋4)=−√2．
(1)求曲线C的普通方程和直线L的直角坐标方程；
(2)设直线L与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是曲线C上任意一点，求△𝑃𝐴𝐵面积的最大值． 第6页，共19页
23. 已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−𝑎|+|2𝑥−1|(𝑎∈𝑅)．
(1)当𝑎=−1时，求𝑓(𝑥)≤2的解集；
(2)若𝑓(𝑥)≤|2𝑥+1|的解集包含集合[12,1]，求实数a的取值范围．
第7页，共19页 答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵𝐴={𝑥|−2<𝑥<1}，𝐵={𝑥|0≤𝑥≤3}，
∴𝐴∩𝐵=[0,1)．
故选：C．
可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃𝑥0∈𝑅，𝑒𝑥0−𝑥02≤0，
故选：B．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】A
【解析】解：∵𝑎>0，𝑓(𝑥)={𝑙𝑜𝑔2𝑥(𝑥>0)𝑎𝑥−1(𝑥≤0)，且𝑓(−2)=3；
∴𝑓(−2)=𝑎−2−1=3⇒𝑎−2=4⇒𝑎=12 (−12舍)，
∴𝑓(14)=log214=−2；
故𝑓(𝑓(14))=𝑓(−2)=3；
故选：A．
先根据条件求出a以及𝑓(14)，进而求出结论．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
4.【答案】B
【解析】解：由等比数列的性质可知，𝑞4=𝑎6𝑎2=4
∴𝑞2=2 第8页，共19页 ∴𝑎4=𝑎2𝑞2=2×2=4
∴𝑎4=4
故选：B．
由等比数列的性质可知，𝑞4=𝑎6𝑎2可求𝑞2，由𝑎4=𝑎2𝑞2，代入可求𝑎4
本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题
5.【答案】B
【解析】解：根据平面与空间之间的类比推理方法，可知由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．
故选：B．
根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，可得结论．
类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想)．
6.【答案】C
【解析】解：设四分之一圆的半径为r，
则A区域的面积为𝑆𝐴=12×𝑟×𝑟=𝑟22，
M区域的面积为𝑆𝑀=12×(√2𝑟2)2𝜋−[14(𝜋𝑟2)−12𝑟2]=𝑟22，
∴𝑃(𝐴)=𝑃(𝑀)．
故选：C．
设四分之一圆的半径为r，求出A区域的面积为𝑆𝐴=12×𝑟×𝑟=𝑟22，M区域的面积为𝑆𝑀=12×(√2𝑟2)2𝜋−[14(𝜋𝑟2)−12𝑟2]=𝑟22，由此利用几何概型概率计算公式求出𝑃(𝐴)=𝑃(𝑀)．
本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D