1正交多项式

2内容提要正交多项式正交函数族与正交多项式Legendre 正交多项式Chebyshev正交多项式Chebyshev零点插值

第二类Chebyshev正交多项式（了解）Laguerre 正交多项式（了解）Hermite正交多项式（了解）

3正交函数族函数的正交定义：设f(x),g(x) C[a, b]，(x)是[a, b]上的权函数，若则称f(x) 与g(x) 在[a, b] 上带权(x)正交(,)()()()0bafgxfxgxdx

4正交函数族

定义：设函数0(x), 1(x), , k(x) , C[a, b]，(x)是[a, b]上的权函数，若

则称{k(x)}是[a, b]上带权(x)的正交函数族0, (,)()()() d0, bijijaiijxxxxAij

若所有Ai =1，则称为标准正交函数族

5正交函数举例例：三角函数系1，cos x，sin x，cos 2x，sin 2x，…在[-, ]上是带权(x)=1的正交函数族ππ(1, 1)d2πx证：ππ(sin,sin)sinsin d πnmnxmxnxmxxππ(cos,cos)coscos dπnmnxmxnxmxx

ππ(cos,sin)cossin d0nxmxnxmxx(m, n= 1, 2, 3, … )

(m, n= 0, 1, 2, … )6正交多项式

定义：设n(x)是首项系数不为0的n次多项式，(x)是[a, b]上的权函数，若

则称为[a, b]上带权(x)正交，称n(x)为n次正交多项式。0, (,)()()() d0, bijijaiijxxxxAij0nn

7正交多项式性质1：设为[a, b]上带权(x)正交多项式，Hn为所有次数不超过n的多项式组成的线性空间，则

构成Hn的一组基012 (), (), () , , () nxxxx0nn

性质2：设为[a, b]上带权(x)正交多项式，则对p(x) Hn-1，有0nn(),()()()() d0bnnapxxxpxxx

8正交多项式性质3：设为[a, b]上带权(x)正交多项式，且首项系数均为1，则

其中0nn11()()()()nnnnnxxxx

11(,)(,), (,)(,)nnnnnnnnnnxn= 0, 1, 2, …

这就是正交多项式的三项递推公式！即所有首项系数为1 的正交多项式族都满足这个公式，该公式也给出了正交多项式的一个计算方法。100, 1,证明：板书

9正交多项式

性质4：设为[a, b]上带权(x)正交多项式，则n(x)在(a, b)内有n个不同的零点0nn证明：板书

10Legendre 多项式Chebyshev多项式第二类Chebyshev多项式（了解）Laguerre 多项式（了解）Hermite多项式（了解）

11勒让德（Legendre）多项式

Pn(x)的首项xn的系数为：22(21)(1)(2)!2!2(!)nnnnnnnn在[-1, 1]上带权(x)=1的正交多项式称为勒让德多项式

201dP()1, P()(1)2!dnnnnnxxxnxx[-1, 1]，n= 1, 2, …记为：P0, P1, P2, ...

则是首项系数为1的勒让德多项式2!dP()(1)(2)!dnnnnnxxnxP()nx令

12Legendre 多项式勒让德多项式的性质(1) 正交性：110, (P,P)P()P() d2, 21nmnmmnxxxmnn

(3) 递推公式：11(1)P()(21) P()P()nnnnxnxxnx其中P0(x) = 1, P1(x) = x，n= 1, 2, …(4) Pn(x)在(-1,1) 内有n个不同的零点(2) 奇偶性：P2n(x)只含偶次幂，P2n+1(x)只含奇次幂，故P()(1)P()nnnxx

13Legendre 多项式

1)(0xPxxP)(12/)13()(22xxP2/)35()(33xxxP8/)33035()(244xxxP8/)157063()(355xxxxPex31.m勒让德多项式的表达式

14切比雪夫（Chebyshev）多项式在[-1, 1]上带权(x)的正交多项式称为切比雪夫多项式，其中21 1 ()xx

x[-1, 1]，n= 0, 1, 2, …xnxTnarccoscos)(Chebyshev 多项式的表达式

15Chebyshev 多项式Chebyshev多项式的性质(1) 正交性：

(3) 递推公式：其中T0(x) = 1, T1(x) = x，n= 1, 2, …(2) 奇偶性：T2n(x) 只含偶次幂，T2n+1(x)只含奇次幂，故()(1)()nnnTxTx1210, ()()(,) dπ/2, 01π, 0nmnmmnTxTxTTxmnxmn

)()(2)(11xTxxTxTnnn

cos(n+1)+cos(n-1)= coscosnx = cos

16Chebyshev 多项式(4) Tn(x)在(-1,1) 内有n个不同的零点:21cosπ2kkxn(k= 1, 2, … , n)(5)Tn(x)在[-1, 1] 上有n+1 个极值点:πcoskkxn(k= 0, 1, … , n)(6) Tn(x) 的首项系数为2n-1，且|Tn(x)|1

17定理：记为所有首项系数为1 的n 次多项式组成的集合，则对有首项系数为1 的Chebyshev 多项式(7) 令1()()2nnnTxTx则为首项系数为1的Chebyshev 多项式。()nTx

1111max()max()nxxTxpxnH ()npxH

且1111max()2nnxTx

即在集合中无穷范数最小。nH()nTx等价描述：()()nTxpx ()npxH证明：略

18首项系数为1 的Chebyshev 多项式

①这里的无穷范数是指C[-1, 1] 上的无穷范数。②定理中的结论可推广为“在所有次数不超过n的首项系数为1 的多项式中，的无穷范数最小”③该结论可用于计算n次多项式在[-1,1] 上的n-1 次最佳一致逼近多项式。性质：设f(x)Hn，且首项系数为an0，则f(x) 在[-1,1] 上的n-1 次最佳一致逼近多项式为()()nnfxaTx证明：留作练习几点注记：

()nTx

19Chebyshev 多项式例：求f(x)=2x3+x2+2x-1 在[-1,1]上的二次最佳一致逼近多项式。解：设p(x) 是f(x)在[-1,1]上的二次最佳一致逼近多项式，则由前面的性质可知33()()()pxfxaTx323322124xxxxx2712xx思考：如何计算n 次多项式在[a, b]上的n-1 次最佳一致逼近多项式？20Chebyshev多项式

1)(0xTxxT)(112)(22xxTxxxT34)(33188)(244xxxTxxxxT52016)(355Chebyshev多项式的表达式ex32.m

21Chebyshev零点插值

以Chebyshev 多项式的零点作为插值节点进行插值好处：所有插值多项式中, 总体插值误差最小21cosπ2(1)kkxn

定理：设f(x)Cn+1[-1, 1]，插值节点x0 , x1 , … , xn 为Tn+1(x)的n+1个零点，则(1)1()()()2(1)!nnnfxLxfxn用Chebyshev 多项式的零点插值

22Chebyshev零点插值若f(x)Cn+1[a, b]，怎么办？

22babaxt作变量替换

插值节点21cosπ22(1)2kbakbaxn(k= 0, 1, … , n)插值误差1(1)11()()()()2(1)!2nnnnnbafxLxfxn

23举例

例：(教材64页，例4) 求在[0, 1]，上的四次Chebyshev 插值多项式L4(x)，并估计误差。()exfx解：板书

例：(教材65页，例5，上机) 函数，插值区间[-5, 5]，试分别用等距节点和Chebyshev 节点作10 次多项式插值，画图比较两种插值的数值效果。ex33.m21()1fxx

24其他正交多项式

第二类Chebyshev 多项式Laguerre 多项式Hermite 多项式其他正交多项式（了解）

25第二类Chebyshev第二类Chebyshev多项式

x[-1, 1]，n= 0, 1, 2, …2sin(1)arccos()1nnxUxx

递推公式：在[-1, 1] 上带权正交，即110,(,)()()() dπ/2,nmnmmnUUxTxTxxmn

其中U0(x) = 1, U1(x) = 2x，n= 1, 2, …11()2()()nnnUxxUxUx2 ()1 xx

26Laguerre 多项式拉盖尔（Laguerre）多项式

x[0, ]，n= 0, 1, 2, …d()()dnxnxnnLxexex

200,(,)()()() d(!),nmnmmnLLxLxLxxnmn递推公式：其中L0(x) = 1, L1(x) = 1-x，n= 1, 2, …211()(21)()()nnnLxnxLxnLx在[0, ]上带权正交，即 () xxe

27Hermite 多项式埃尔米特（Hermite）多项式

x(-,+)，n= 0, 1, 2, …

0,(,)()()() d2!,nmnmnmnHHxHxHxxnnmn

递推公式：其中H0(x) = 1, H1(x) = 2x，n= 1, 2, …11()2()2()nnnHxxHxnHx在(-,+)上带权正交，即2 () xxe22d()(1)dnnxxnnHxeex

28作业1.教材第94 页：7，8，112.补充题：证明下面的结论性质：设f(x)Hn，且首项系数为an0，则f(x) 在[-1,1] 上的n-1 次最佳一致逼近多项式为()()nnfxaTx

提示：第8 题可利用正交多项式的递推公式(P. 58,定理4, 注: 该定理只对首项系数为1 时成立)

注：教材P. 63 例3 指的是二次最佳一致逼近多项式。