合同矩阵和相似矩阵
篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
20XX09113 李娟娟
一、基本概念与性质
（一）等价：
1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。
2、矩阵等价的充要条件：
AB{同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立
3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：
1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得ABPTAPB成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则AB二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似
1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：
AT~BT,Ak~Bk,A1~B1(前提，A,B均可逆)
|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）
A~Br(A)=r(B)
tr(A)tr(B)即A,B的逆相等
|A|=|B|
3、矩阵相似的充分条件及充要条件：
①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB)
二、矩阵相等、合同、相似的关系
（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：
设矩阵 A(1,2,,n)，B(1,2,,m)
1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关
组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B
同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。
3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)
综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。
1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。
2、合同、相似、等价之间的递推关系
①相似等价：A~BA,B同型且r(A)r(B)AB
②合同等价：ABA,B同型且r(A)r(B)AB
③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当A~B时，|EA||EB|二次型f(x)XTAX与g(x)XTBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数ABAB
即有A~BABAB
Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即PTPE使得PTAPB即AB则有
1BPTAPPAP~A B 即有ABA~B
Ⅲ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则
A~B时有 A~BABAB
Ⅳ、A~Br(A)r(B)、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B) 下面讨论r(A)r(B)时A~B,AB,AB成立的条件。
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知
存在正交矩阵P时，有PTP1，则
r(PTAP)r(A)记BPTAP则r(A)r(B)
此时ABA~BAB
即P为正交矩阵时，由r(A)r(B)A~B,AB,AB
（三）
1、矩阵等价：①同型矩阵而言
②一般与初等变换有关
③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的
本质是秩相等
2、矩阵相似：①针对方阵而言
②秩相等是必要条件
③本质是二者有相等的不变因子
3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵
②秩相等是必需条件
③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变
换在不同基下的矩阵
篇二：矩阵的合同与相似及其等价条件
矩阵的相似与合同及其等价条件研究
（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶
引言
矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.
1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念
矩阵等价的定义[1]
定义如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的.
由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：
定义如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的.
根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：
定义设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQB,则称矩阵A与B等价，记作A∽B. 矩阵相似的定义[2]
定义设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P，使得
P1APB,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A～B.
n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:
性质反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似. 性质对称性，即如果A～B，则B～A. 性质传递性，如果A～B，B～C，则A～C.
性质 P1(k1A1k2A2)Pk1P1APk2A2P. （k,k是任意常数）
12
性质 P1(A1A2)P(P1A1P)(P1A2P).
性质若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.（m为正整数）证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP 可以得到Am与相Bm相似.
性质如果矩阵A、B都是满秩，则A～B，那么B～A. 证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP故可以得到B～A.
性质如果矩阵A～B，那么AB.
证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，又因为P1APB，