合同矩阵和相似矩阵篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别20XX09113 李娟娟一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。
2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得ABPTAPB成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则AB二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：AT~BT,Ak~Bk,A1~B1(前提，A,B均可逆)|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）A~Br(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB)二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。
3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
（二）、矩阵合同。
相似，等价的关系。
1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。
2、合同、相似、等价之间的递推关系①相似等价：A~BA,B同型且r(A)r(B)AB②合同等价：ABA,B同型且r(A)r(B)AB③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当A~B时，|EA||EB|二次型f(x)XTAX与g(x)XTBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数ABAB即有A~BABABⅡ、存在一个正交矩阵P，即PTPE使得PTAPB即AB则有1BPTAPPAP~A B 即有ABA~BⅢ、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则A~B时有 A~BABABⅣ、A~Br(A)r(B)、ABr(A)r(B)、ABr(A)r(B) 下面讨论r(A)r(B)时A~B,AB,AB成立的条件。
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知存在正交矩阵P时，有PTP1，则r(PTAP)r(A)记BPTAP则r(A)r(B)此时ABA~BAB即P为正交矩阵时，由r(A)r(B)A~B,AB,AB（三）1、矩阵等价：①同型矩阵而言②一般与初等变换有关③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：①针对方阵而言②秩相等是必要条件③本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵②秩相等是必需条件③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。
由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。
相似与合同不可互推，需要一定的条件。
而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵篇二：矩阵的合同与相似及其等价条件矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念矩阵等价的定义[1]定义如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQB,则称矩阵A与B等价，记作A∽B. 矩阵相似的定义[2]定义设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P，使得P1APB,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A～B.n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似. 性质对称性，即如果A～B，则B～A. 性质传递性，如果A～B，B～C，则A～C.性质 P1(k1A1k2A2)Pk1P1APk2A2P. （k,k是任意常数）12性质 P1(A1A2)P(P1A1P)(P1A2P).性质若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.（m为正整数）证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP 可以得到Am与相Bm相似.性质如果矩阵A、B都是满秩，则A～B，那么B～A. 证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP故可以得到B～A.性质如果矩阵A～B，那么AB.证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，又因为P1APB，P1P1，故可以得到AB.性质相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明设BP1AP，若矩阵B可逆，B1P1AP也相似.若B不可逆，则P1AP不可逆，即A也不可逆.性质相似矩阵有相同的特征值.证明设BP1AP，EBP1EPP1AP1111mBmP1AmP，故1B1P1A1P。
1P1A1P，从而B1和A1P1EAPEA故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值.性质相似矩阵有相同的迹.证明可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P,使得P1APB。
trBtrP1APtrP1PAtrA2030例1 A，B0302，求分别求矩阵A、B的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A与B是否相似，它们之间有什么关系？解从已知可知A20XX6，Rank(A)2,tr(A)5对于A的特征多项式EA故A的特征值为2和3.对于矩阵B,B300223(2)(3)6，Rank(B)2,tr(B)5矩阵B的特征多项式B300(2)(3). 2故矩阵B的特征值是2和3.011PAPB，从定义矩阵B与矩阵A相似. 存在一个可逆矩阵P 使得10从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].124例2设实数域上的3级实对称矩阵A242，对角矩阵421500B050.求矩阵A、B的特征值，特征多项式并且矩阵A与矩阵B相似吗？如004果相似求出可逆矩阵P.1解由矩阵A的特征多项式为242421120244242 21011242204(5)2(4) 故矩阵A的特征值为5和—4.容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同。
15525故矩阵B的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P,P50415215153231 323验证得到P1APB，那么矩阵A与矩阵B相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 矩阵合同的定义[2]定义设A，B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得CTACB，则称A与B合同，记作AB.n阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴反身性: 即任一n级矩阵与自身合同. ⑵对称性: 即如A与B合同，则B与A合同.⑶传递性: A与B合同，B与C合同，则A与C合同.⑷合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2. 合同矩阵与相似矩阵的关系矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.⑵相似、合同矩阵均有相同的秩.(A)Rank(B)，若矩阵A合同于矩阵B，则若矩阵A相似与矩阵B，则RankRank(A)Rank(B).可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A于矩阵B相似，则要求A、B都是方阵；若A 合同与B，则要求A、B都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A～B ，则AB，A与B有相同的特征值.但若AB，那么A与B的行列式的值不一定相等；A与B也不一定有相同的特征值.22221例1 设A254,T2450245445545131002,B010, 3001023不难验证：TTATB，有AB.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T为正交矩阵，故A～B，矩阵A的行列式可以等于B的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.121410例2 A，，BC2341202.经过验证可以知道A1，B4，然而CTACB，AB，可以得到矩阵A合同于B，但是行列式可以不等.我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设A～B，则有可逆矩阵P，使得BP1AP，于是EBEP1APP1(E)PP1AP1=P(EA)P篇三：如何判断矩阵的等价,相似,合同？如何矩阵的等价,相似,合同？(1)A与B等价:A可以经一系列初等变换得BPAQBr(A)r(B)(A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等.(2)A与B相似:P1APB,P可逆.相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果A,B相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知A,B相似.(3)A与B合同(仅限于对称矩阵):CTACB(C可逆)A与B 的正负惯性指数相同.判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可. 注:A,B合同A,B等价 1011A,B相似A,B等价,例A,B等价但不相似0101在A,B实对称的前提下,A,B相似A,B合同.【例1】判定下列矩阵哪些等价，哪些相似, 哪些合同111110100000A000,B001,C000,D011.000000000011【解】先看等价：r(A)1,r(B)2,r(C)1,r(D)1，故A,C,D等价.再看相似：r(A)r(C)r(D)1,r(B)2,排除B，考虑A,C,D，A,C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，从而排除D仅仅考虑A,C，A的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量。