例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、 加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。
运动方程: x R ct o ,y R s st i ,z n ut
解：
vx vy
x
y
vz
z
v x 2y 2z 2 s R22u2const.
a x 2 y 2 z 2 R2
ax ay
x y
az
z
2
8
A
l
B
O
x
C
.
略去λ4以及更高阶项，并利用关系
sin2 t1cos2t
2
则
xrcostl 1rl2sin2 t
可表示为
xl142rcost4cos2t
滑块B的速度和加速度为
vd dx trsint2sin2t,
y A
O
C
ad d2 t2 xr2costcos2t
l
B
x
.
轨迹演示
.
•半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M， 在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t 半径MC与轨道的垂线HC 组成交角 φ=ωt，其中ω 是常量。试求M点的运动方程，速度和加速度。
an恒指向曲线凹侧
速度、加速度矢量在密切面内
.
运动演示
.
•销钉B可沿半径等于R 的固定圆弧滑道DE 和摆杆的直槽中滑动，
AO=R=0.1m。已知摆杆的转角 π sin2π t （时间以s计， φ以rad计），
8
试求销钉在t1=1/4 s 和 t2=1 s 时的加速度。
•选滑道上O‘点作为弧坐标的原点，
ax ay az
d 2x
dt 2 d 2y
dt 2 d 2z
dt 2
x y
z
a ax2ay2az2
.
曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别
为r和l。且l>r，角=ωt，其中ω是常量。滑块B可
沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度 和加速度。
y
A
l
B
O
x
C
.
运动演示 2/23.
并以O'D为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标
D
C
+s
B
s R
ω
O
φ
θ
s
s2R π sin2πt
40
A
R
R
O' •这就是B点的自然形式的运动方程。
-s E
at
dvt dt
π3 sin2πt
10
教材题5-7P154
ds π2
vt
dt
cos2πt 20
an
v2
.
2π02 cos2πt2 0.1
π4 cos22πt 40
x
+ y
1、 弧坐标形式
的运动方程
ss(t)
.
曲线的几何性质 T”
M
T’
T M’ M' M s
•曲率(curvature) k lim
s0 s
•曲率半径(radius curvature)
1
k
MTT” 极限位置所在的平面称为 密切面(osculating plane)
.
以点M为坐标原点，并跟随点M一起运动的直角坐标系，称为
.
2
vxr(1cots) vy rsint
v 2rsin t
2
ax r 2sin t ay r2cos t a a2xa2y r2
当t = 2n时
vx 0
vy 0
a x 0 ay r 2
•这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。 •这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
aat an
解: 考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标
x O C C B rco sl2 r2sin 2
将φ=ωt 代入上式得
xrcostl 1rl2sin2 t
令λ= r/l，将上式的根式展
开，有
y
1 2 s in 2 t 1 12 s in 2 t 14 s in 4 t
t
f(x,y,z)0
P138．点的速度
vdrdixdyjdk z dt dt dt dt
vx
dx dt
dy v y dt
vz
dz dt
x
y
z
.
v vx2vy2vz2
P138．点的加速度
aaxiayjazk dv d2r d2x d2y d2z
a i j k dtd2t d2t d2t d2t
• M点的切向加速度和法向加速度 •注意，尖点
由v2rsin t
2
at
dvr2cos
dt
t
2
.
an a2at2r2sin 2t
§5-3 自然坐标法
点的运动轨迹为已知曲线
•坐标原点O—在已知轨迹上任选一点。
•弧坐标s—沿轨迹从O到点M的弧长。
•坐标正方向—指定坐标原点O的某一侧为正向。
-0zsM来自r O（1）运动方程
x f1 (t) x(t) y f 2 (t) y(t) z f3 (t) z(t)
.
x f1 (t) x(t) y f 2 (t) y(t) z f3 (t) z(t)
书P137
•称为点 的运动轨迹的参数方程。
•消去式中的参数 t ，可得到点的轨迹方程 —空间曲线方程：
.
•第五章 点的运动 •研究任务：研究点在空间运动的几何性质，即点相对于某坐标系
运动的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。
书137页 5- 2 直角坐标法 •当点的运动轨迹为已知直线或为未知时，
用直角坐标法描述点的运动规律。 1．点的运动方程和轨迹方程
z •取直角坐标系，点 在运动过程中，坐标 x，y ， 随时间而变化。
自然轴系。
主法线
en
密切面
2、速度与加速度
+s
速度 vset
法
面
M
eb
副法线
e t 切线
eteneb
et,en,eb 自然轴系
加速度 avd(set) dt 分解为两项
a s e t s e t a t a n
a t se t
an
s2
en
反映速度大小的变化 反映速度方向的变化
(trihedral axes on a curve)
什么是运动学？
• 运动学：研究物体运动的几何性质的科学。
• 点的运动学
– 点的运动方程（轨迹） – 点的速度 – 点的加速度 – 点的复合运动
• 刚体的运动学
– 刚体的平动（刚体上点的速度和加速度） – 刚体的定轴转动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度） – 刚体的平面运动（刚体角速度和角加速度、其上点的速度和加速度） – 刚体的定点运动和一般运动（不讲）
解：考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，
故有OH=弧MH 。在图示瞬时动点M 的坐标为
y
x O r A rO si H nAH 弧 M H AH
D
xr(tsi n t)
C Mφ
yAM rrcos
yr(1cots)
OA
H
x
vxr(1cots)
vy rsint
v v 2 x v 2 y r ( 1 co t) 2 s2 itn 2 rsitn