x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An
n
R2
sin
n
cos
n
n
证明:
R
证:
lim
n
An
lim
n
R
2
sin
n
n
cos
n
说明: 计算中注意利用
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2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1 n11)n (1 1x)x (1 1n)n1
e,
则
原式
lim
x
(1
1 x
)
x
1
e1
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例7. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
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内容小结
1. 函数极限与数列极限关系的应用
(1) 利用数列极限判别函数极限不存在
x x0 (x )
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则Ⅱ) ( P52 )
lim
n
xn
a
(M
)
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
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例6. 设
证明数列
sin x
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例4. 求
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
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上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限：
准则I’ 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
x x0 (x )
1t )t
1
lim [(1
t
1t )t
(1 1t )]
e
故
lim (1
x
1x) x
e
说明:
此极限也可写为
1
lim (1 z) z
e
z0
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例6. 求
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明
：若利用
lim (1
( x)
1 (x)
)
(
x)
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
使
lim
n
f
(xn
)不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
(2) 数列极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
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2. 两个重要极限
xn
11
1 2!
(1
1n)
1 3!
(1
1n)
(1
n2)
1 n!
(1
1n)
(1
2 n
)
(1
nn1)
xn1
11
1 2!
(1
n11)
31! (1
n11)(1
n21)
大
大
(n11)!(1 n11)(1 n21)(1 nn1)
正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
又
xn
(1
1 n
)n
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
lim (1
n
1 n
)n1
lim [(1
n
1n)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1x) x
e
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当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
t
lim (1
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
11
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又 xn (1 1n)n 11 11
3
2
1
n1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
lim (1
n
1 n
)
n
e
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
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二、 两个重要极限
极限存在 . (P52～P54)
证: 利用二项式公式 , 有
xn
(1
1 n
)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
21!(1
1 n
)
31!(1
1 n
)
(1
2 n
)
n1!(1 1n) (1 n2) (1 nn1)
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第六节
第一章
极限存在准则及
两个重要极限
一、极限存在准则 二、 两个重要极限
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一、极限存在准则
1. 夹逼准则 (准则Ⅰ)
(1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1, N2 ,
当
时,
,当
时,
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
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例1. 证明
证: 利用夹逼准则 .由
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n2 n2
lim n1
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
作业
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
P55 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
证:
当
x
(
0
,
2
)时，Leabharlann BD1xoC
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0