第卷第期山东工程学院学报
驻波的
能量
分
析
邓
尚
民哀
玉
珍
基
础部
摘要本文从能贡密度出发分析了驻波的能1及其分布
规律
关链词
驻波能量密度
许多教材`’一3,在介绍驻波时只简单地指出驻波不传播能且对为什么不传播能量
及
能童在驻波中怎样分布没有进行详细的分析本文从能量密度出发讨论驻波的能量及
其分布规律
设有两个振幅均为A的相干波一个
沿x轴正方向传播另一个沿
x
轴
负方向传
播其波动方程分别为
:
l
`l(
y
一
AcosZ
兀
y:=
A
eos
Z
汀
根据(1)和l()式可得驻波方程
:
(奋一奇)
(奋
+
奇
)
,`
J
才
+夕2一
2,
一
(浮)
一
(
攀
)
波节
位
于
二
一士(2、+
1
)
聋
k
=
0
0一一k,人一,ùk
一十
一
X
波腹位于
此外入射波和反射波的能量密度’”分别为
:
、
、
一E一、·’2·(牙反一:5in’2·(手奇)一鲁〔卜一4
:
登)一鲁[,一`·(奋一奇(奋十奇
十
"
一
T
式中E一州’。’p是弹性介质的质量密度aJ是圆颇率体人和甲反的最大值均为E最
小值均为零都具有T/2的周期由(5)式和(5)式可见波节和波腹以及任意位
置
x
处
的能量密度均随时问呈周期性变化因为入射波和反射波是相干波所以彼此叠加
后
形成了稳定的能量分希根据波的叠加原理和能童守恒定律驻波的能量密度等于入射
波和反射波的能童密度之和:即
二
一附+甲_一
:「1
一
cos擎cos
粤
八仅L凡
I
(6)
收稿
R
期
1996
一03一
13
第期邓尚民等驻波的能皿分析
一一
上式表明驻波能最密度的数值在ZE和。之间变化是周期性地分布在整个空
间
且
随时问作周期性变化空间周期等于相邻波节或波腹间的距离义/2时问周期是
T/2
恰为入射波或反射波相应周期的二分之一因此驻波的能量密度具
有时间和空问对称
的双重周期性
即
砰(rx)~砰
T
还
l
+百x+
万
比
较(6)式和(5)式显见驻波与行波的能量密度不同这种差别造成
驻波的能量分
布
与行波截
然不同
当时问`一定时由(6)式可得驻波能量密度关于位丑坐标的一阶和二阶偏导
数
:
刁
W
4兀。4兀x4
兀
t
了,
吕一;乙slnes二wecos气二
口
万
人^I
(7)
刁
2
甲
4兀\2_4
兀
x
丁
/
`
“
os
万厂
~
4
兀
t
T
(
8
)
令(7)式等于零}当`,(,k+,)晋{时得一士·聋”=012,…时即在波节和波腹
处
能量密度甲取极值极大值或极小值是由能量密度的二阶导数
的符号决定的
把(3)式和(4)式分别代
入(8)式中得波节
处
二
一
f
丝
、
、
又
/
。
4
们
二
co
s
万
不
(9)
丝
、
又
/
”
4
兀
z
乙
“。
s
下
(
1
0
)
州
UZ一
入
过
,
一
口
波腹
处
(9
)式和(10)式表明在任意时刻波节和波腹处的二阶导数总是等值异号且以
相同
的周期T/2作周期性变化因此能量密度在波节处取极大值时波腹处
必
为极
小值
反
之亦然从而说明了其能量也具有与能量密度相同的变化和分布规
律
把(3)式和(4)式分别代
入(6)式可得波节处的能量密度
:
二
一
:(1
+
。。
s
擎
\
了
波腹处的能量密度
:
二
一
E
f
:
一
c
os
丝
z
\
T
在任意时刻且无论所考虑的波节和波腹是否相邻均有
碎
、
+甲:一
ZE
(
川
并且等于恒量这表明在极值点波节和波腹处流出和流入的能量的净值是不随时问变化
的这一规律不仅在于任一波节和波腹还存在于任意一对对应位置处设任一
波
节位于x.处某点。位于x.十△石任一波腹位于xZ处某点b位于二2十△x则
称
。
和b为一对对应位置分别利用(3)(4)和(6)式得a点处能童密
度
一一山东
工程学院学报
年
甲
O
兀
△
又
O
丝
」
点处的能量密度
一
汀△又O兀
〕
十
一
则
O
在形成驻波的介质中有无数对对应位置(11)和(1(11)`)式为结果完全相同体现了
在整个弹性介质中无数对此驻波从整体效果上看对应位置问流出和流入的能量的净值是不随时问变化的因
不存在能量的传播
参考文献
程守珠等编普通物理学(第一册)北
京:人民教育出版社
197
8
南京工学院等七所工科院校编物理学(下盼)北京:高
等教育
出版社
191
张三惹等编光学近代物理北京科学技术出版社1987
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