➢ Hamer于1906年建立并分析了一个离散时间模型尝试 着理解麻疹病的死灰复燃；
➢ Ross于1911年提出了疟疾的微分方程； ➢ 从1926年Kermack和McKendrick发表了一系列关于疾
病传播模型的文章；
➢ 从二十世纪中期开始，大量的各种各样的模型应用 到传染病研究上；
➢ 流行病传播过程可以被看作是渗流过程，因此物理 学家开始对这一类模型感兴趣。
➢ 网络的平均度就是对所有节点的度取平均，即
k
N
ki / N
i
➢ 假设 dij是从节点 i 到 j 所要经过的边的最少数目，那么网
络中最大的 dij 就称为网络的直径；
➢ 对网络中所有的节点对的最短距离去平均，就得到网络的
平均最短路径，即
L
1 N (N 1) i, jN ,i j dij
➢ 簇系数：单个节点的簇系数定义为它所有的邻居节点中仍
我们的工作： ——具有单一传染能力的疾病传播与免疫
➢ 在以往的工作中，节点的传染能力往往跟它的度成正比。 但是在有些情况下，节点只有有限的能力去传染其他个体， 比如性接触网络中一个人在一段限定的时期内有有限的能 力去接触其他人；Gmail系统中，使用者只被赋予有限的 能力来邀请其他人也成为使用者（通过发送一封邀请信）。
在双对数坐标上随 变化，c 0.1643 0.01
c
的
: ( c )
✓ WS网络上超临界传播实验 ✓ WS网络上亚临界传播
中的感染节点密度 (t )随
实验中的感染节点密
时间的变化
度 (t) 随时间的变化
R.Pastor-Satorras, A. Vespignani. Phys. Rev. E 63 (2001) 066117.
染密度 与1/ 的关系
: exp(C / )
✓ 动态的平均场反应速率
方程可以写为：
t k (t) k (t) k[1 k (t)]()
最后得到：
; 2e1/ m
: exp(C / )
➢指数网络上的流行病传播
✓ 在WS网络上对SIS模型进行了研究，重现了临界阈值，并 从解析和模拟两方面进行了证明；
✓ 从平均场反应等式出发，
t (t) (t) k (t)[1 (t)]高阶项 得到
[1 k (1 )] 0
定义了传播阈值 c k 1
于是得到了
0 : c
当 c 当 c
重现了平均场临界行为。
✓ WS网络（实线）和BA网 络（虚线）上感染节点密
度 随 的变化。
✓ WS网络上感染节点密度
比例免疫
目标免疫
0.8, A 2, k 6, N 2000
➢ I (t)的平均值随时间的变化 BA网络： N 2000, k 6, A 2
➢小结
• 假定节点的接触传染能力为A，我们发现传播阈值为1/A， 而与网络的结构无关，解析和模拟计算都证实了这一点；
• 在这个模型中没有发现明显的尺寸效应，网络规模对结果 的影响不大；
➢ 感染密度随时间的变化
对速率方程两边同时乘以 P(k ) 并对 k 求和，忽略 I 2 高
阶项，得到： t I (t) I (t) AI (t)
得到 I (t)的时间行为是：
I (t) : ect
其中 c ( A 1)
➢随免疫的存在将有效的通
过一个因子（1-g）来减小传
网络上的疾病传播及演化博弈
答辩人： 张明锋 单位： 中国科技大学近代物理系 学科专业：理论物理 课题方向：统计物理和复杂性科学 导师： 汪秉宏 教授
全文的主要结构
➢ 本文主要研究网络上的动力学过程，如疾病传 播、演化博弈等，并观察网络拓扑对各种动力 学过程的影响，全文结构如下：
一． 复杂网络的概述、网络上的动力学过程简介 （疾病传播、演化博弈）（第一章）；
二． 复杂网络上的疾病传播（研究背景、主要模型 及主要工作）（第二章）；
三． 复杂网络上的演化博弈（研究背景、两个经典 案例及主要工作）（第三章）；
四． 总结与展望（第四章）。
（一）复杂网络的概述
复杂网络的介绍
➢ 网络可以是欧几里德空间中实体的对象，如电力网、 因特网、高速公路和地铁网以及神经网络；或者在 抽象空间中，也可以定义为一个实体，比如熟人网 络或者个体间合作网等。
m k /2 ，A2
➢不同尺寸上的BA网络上 的平均值随有效传播速率 的变化
在原始的SIS模型中节点的传染能力严格依赖于它的
度 k ，而阈值c k / k2 ，度的方差随着网络尺寸的增
长逐渐发散，所以会有一个明显的尺寸效应；但是目 前这个模型由于节点传染能力与度无关，所以没有发 现明显的尺寸效应。
复杂网络的几个例子
➢ 神经网络可看作是大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络； ➢ 计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞
线、同轴电缆等相互连接形成的网络； ➢ 类似的还有电力网络、社会关系网络、交通网络等。
因特网
社会网络
研究复杂网络的历程
➢ 传统上来说，网络的研究主要是属于离散数学的一个分支 图论的范畴。由于人们认识的局限，经典的图论总是倾向 于用某种规则的拓扑结构模拟真实网络；
➢SIS模型
动态变化的微分方程为：
ds is i, di is i
dt
dt
其中 和 分别指传染
率和康复率。
人 易感类（S） 传染类（I）
前人的工作
➢ 无标度网络上的流行病传播
✓ Pastor-Satorras和Vespignani对真实计算机病毒传播的数据 进行分析，通过大规模的数值模拟来研究无标度网络上的 SIS模型。他们发现传播阈值以及与之相关联的临界行为 的缺失，彻底改变了流行病建模中得到的许多标准的结论， 并指出不管个体的传播速率如何，无标度网络都适于病毒 的传播和生存。
复杂网络的基本概念
➢ 不同领域的大量的网络分析产生了一系列不可预期的结果。 首先要面临的问题无疑就是结构问题。复杂网络的研究一 开始就努力定义新的概念和手段来标记网络的拓扑；
➢ 图论是用数学来描述复杂网络的自然框架，复杂网络可以 看作是一个图。一个非定向图 G (N, ) 是由两个子集 N 和
✓ 偏好连接：每个新增加的节点伸出 m条边，以概率
连接到节点 i 上。
pi
ki k N
j 1 j
两要素缺一不可，这样的机制生成的网络就是无标度网络， 其度分布服从幂律分布。
（二）复杂网络上的疾病传播
疾病传播的研究背景
➢ Daniel Bernoulli早在1760年就建立了一个天花传播的 模型，以此来评估天花病毒侵入健康人群的有效性；
• 于是得到一个非零解
kA k
k
1 kA/
k
• 稳态的网络的感染密度为
对于临界点 ~0，我们
得到：
k
A
1
k kP(k)
k
A
k
1
kP(k )
Ak /
k
即传播阈值 c
1 A
其中 k P(k)k 是处在稳定态的整个网络的感染密度。
➢数值模拟
• 令传播过程进行2000步， 并对后1000步取平均作 为稳定态的平均感染密 度。所有的模拟结果是 在300个不同的网络实 现上分别进行100次独 立的运行，然后取平均 得到的。初始时刻随机 的令一半的节点受感染。
然是邻居占总的可能性的百分比。若节点 i 有 ki个邻居， 那么这 ki个节点之间实际有的边数 Ei 与它们之间总的可能
有的边数 ki (ki 1) / 2 之比就给出了节点i 的簇系数值，即
Ci
2Ei ki (ki 1)
整个网络的簇系数就是所有节点 Ci 的平均值。
复杂网络的结构特征
➢ 网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出 来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓 扑结构；
•平均度为 k 8, N 2000 的BA网络上 的平均值随有效传
播速率 的变化，图中黑色为标准的SIS模型，红色、绿色、
蓝色分别是 A 4, 3, 2 的目前的SIS模型。
➢ 不同结构的随机网络和BA网络上的 的平均值随着有效
传染速率 的变化
随机网络和 m 3 的BA网络
不同 m 值的BA网络
组成，其中 N ，并且 是 N 中的元素的无序组合的对。
N n1,n2,...,nN 中的元素是图 G 的节点，而 l1,l2,...,lN 中
的元素是边。一个节点通常用其在 N 中的编号 i 来表示， 每条边定义为节点 i 和 j 的配对，表示为lij 。有连边的两
个节点成为邻居。
➢ 节点 i 的度 ki 定义为与这个节点相连的边的数目；
➢ 自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色 的网络加以描述：一个典型的网络是由许多节点与 连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来 代表真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体 之间的关系，通常是当两个节点之间具有某种特定 的关系时连一条边，反之则不连边。有边相连的两 个节点在网络中被看作是相邻的。
疾病传播的两个重要模型
➢ SIR模型：
人
动态的微分方程为：
ds is, di is i, dr i
dt
dt
dt
s, i和r分别是类S, I和R 的个体数占个体总数的 比例；
是任一易感类个体 每单位时间被任一传染 类个体感染的概率；
是传染类个体康复
并具备免疫力的比率。
易感类（S） 传染类（I） 康复类（R）
➢ 于是在SIS模型中，我们假定每个节点有相同的接触传染 能力A，也就是说，在每一个时间步，每个受感染的节点 将发出A个接触，A为常数。
➢平均场近似
• 在度分布为 P(k)的网络中的部分密度Ik (t)的速率方程可以 写为：