使所有属性产生的偏差最大， 为此构造最优化模型：
% %%%)( , ｍ
ｍｎ ｎ
（ＬＰ） ｍａｘＤ（ｗ）＝ Ｄｊｗｊ＝
１
ｄ（!ｒｉｊ（α）， ｒ!ｋｊ（α））ｄα ｗｊ （ ９）
ｊ＝１
ｊ ＝ １ｉ ＝ １ｋ ＝ １
０
% -ｍ ２
. ｓｔ
/ ｗｊ ＝１
ｉ＝１
/
0ｗｊ≥０， ｊ∈Ｍ
（ １０）
求解此模型得
+( , %% ｎ ｎ
Ｌ
Ｌ
Ｒ
Ｒ
’ ＝ （ｒｉｊ （α）－ ｒｋｊ （α））２＋（ｒｉｊ （α）－ ｒｋｊ （α））２ 表示规 范 化 决 策 矩 阵 Ｒ （α）＝
（!ｒｉｊ（α））ｍ×ｎ 中元素 !ｒｉｊ（α）与 !ｒｋｊ（α）之间的相离度。对于属性 ｕｊ， 决策
方案 ｘｉ 在 α－ 截集下与其他所有决策方案的偏差为
ｍ
% Ｄｉｊ（α）＝ ｄ（!ｒｉｊ（α），ｒ!ｋｊ（α））， ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ ｋ＝１
＝ -（ｂＬ－ ａＬ）２＋（ｂＲ－ ａＲ）２ 为 区 间 数 ａ$ 和ｂ, 的 相 离 度 。 显 然 ｄ（ａ$ ，ｂ,）越 大， 则区间数ａ$ 和ｂ,相离的程度越大， 当 ｄ（ａ$，ｂ,）＝０ 时， 有ａ$＝ｂ,， 即
区间数ａ$ 与ｂ,相等。
定义 ２ 设ａ$＝（ａＬ，ａＭＬ，ａＭＲ，ａＲ）， ｂ,＝（ｂＬ，ｂＭＬ，ｂＭＲ，ｂＲ） 为梯形模糊
对 Ｄｉｊ（α）求 α积分得
%)( * ｎ
Ｄｉｊ＝
１
ｄ（ｒ!ｉｊ（α）， ｒ!ｋｊ（α））ｄα ， ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ
（ ７）
ｋ＝１
０
则 Ｄｉｊ 表示决策方案 ｘｉ 关于属性 ｕｊ 与其他所有决策方案
的偏差之和。令
% %%+( , ｎ
ｎｎ
Ｄｊ＝ Ｄｉｊ＝
１
ｄ（ｒ!ｉｊ（α）， !ｒｋｊ（α））ｄα ，ｉ∈Ｎ
* + Ｌ ＭＬ ＭＲ Ｒ
ｒｉｊ＝
ａｉｊ
＋
，
ａｉｊ
＋
，
ａｉｊ
＋
，
ａｉｊ
＋
＋
Ｒ
， 其中 ａｊ ＝ｍａｘ 2ａｉｊ 6，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｉ１
（３）
ａｊ ａｊ ａｊ ａｊ
ｉ∈Ｎ
* + －
－
－
－
ｒｉｊ＝
ａｊ
Ｒ
，
ａｊ
ＭＲ
，
ａｊ
ＭＬ
，
ａｊ
Ｌ
ａｉｊ ａｉｊ ａｉｊ ａｉｊ
－
Ｌ
，
其中
ａｊ
ｍｉｎ
ｉ∈Ｎ
2ａｉｊ
6，ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｉ２
（ ８）
ｉ＝１
ｉ ＝ １ｋ ＝ １
０
则 Ｄｊ 表示在属性 ｕｊ 下所有决策方案的总偏差（ｊ∈Ｍ）。一 般 地 ， 若 所 有 决 策 方 案 在 属 性 ｕｊ 下 的 属 性 值 差 异 越 小 ， 则 说
明该属性对方案决策与排序所起的作用越小； 反之， 如果所
有决策方案在属性 ｕｊ 下的属性值有较大偏差， 则说明该属性
取 α＝１ ／４， 根据上述算 法 求 得 最 终 排 序 向 量 为 ： ω＝（０．２１， ０．４４，０．３５）Ｔ， 因此方案的排序为 ｘ２3ｘ３3ｘ１， 最优方案为 ｘ２。
参考文献： ［１］姜艳萍， 樊治平． 三角模糊数互补判断矩阵排序的一种实用方法
［Ｊ］．系统工程， ２００２，２０（２）． ［２］徐泽水．基于期望值的模糊多属性决策法及其应用［Ｊ］．系统 工 程 理
ｕ２ （８．３３， ９．２３， ９．６７， １０） （９， １０， １０， １０） （７， ７．４６， ８．６７， ９．６７）
ｕ３
（３， ４， ５， ７） （７， ７．６２， ８．６７， ９．６７） （６．３３， ７．４６， ８．３３， ９．６７）
３ 实例分析
例： 某一软件公司欲从三个候选人 ｘ１，ｘ２，ｘ３ 中选出一个系 统 分 析 员 ， 属 性 集 为 交 际 能 力（ｕ１）、经 验（ｕ２）、自 信 度（ｕ３）， 各 方 案 属 性 值 以 梯 形 模 糊 属 性 是 给 出 。不 妨 假 定 实 例 中 决 策 者 对 待风险的态度是中立的， 则 λ取值为 １ ／４（ 见表 １） 。
（１）０≤Ｐ（ａ$ ≥ｂ,）≤１；
１４０ 统计与决策 ２００７ 年 ５ 月（ 理论版）
知识丛林
（２）若 Ｐ（ａ!≥ｂ#）＝Ｐ（ｂ#≥ａ!）， 则 Ｐ（ａ!≥ｂ#）＝Ｐ（ｂ#≥ａ!）＝ １ ； ２
（３）Ｐ（ａ! ≥ｂ#）＋Ｐ（ｂ#≥ａ! ）＝１； （４）若 ａＲ≤ｂＬ， 则 Ｐ（ａ!≥ｂ#）＝０； 若 ａＬ≥ｂＲ， 则 Ｐ（ａ!≥ｂ#）＝１。
论与实践，２００４， ２０（１）． ［３］徐 泽 水．三 角 模 糊 互 补 判 断 矩 阵 排 序 方 法 研 究［Ｊ］．系 统 工 程 学 报 ，
２００４，１９（１）． ［４］周 珍， 吴祈宗， 刘福祥． 三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法
从 而 得 α－ 截 集 下 的 规 范 矩 阵 Ｒ（α）＝（ｒ$ ｉｊ（α））ｍ×ｎ， 其 元 素 均 为 区 间数。
为了研究方案的比较与排序， 下面先给出区间数之间相 离度的概念和梯形模糊数之间两两比较的可能度公式。
定 义 １ 设 区 间 数 ａ$＝［ａＬ，ａＲ］， ｂ,＝［ｂＬ，ｂＲ］， 则 ｄ（ａ$ ，ｂ,）
属性 ｕｊ 进行测度， 得到 ｘｉ 关于 ｕｊ 的属性值为梯形模糊数ａ$ｉｊ， 其隶属函数为
&ｘ－ (ＭＬ
Ｌ
ａｉｊ
Ｌ
Ｌ
ＭＬ
ａｉｊ ≤ｘ＜ａｉｊ ，
((ａｉｊ － ａｉｊ
μａ$ ｉｊ （ｘ）＝’１
ＭＬ
ＭＲ
ａｉｊ ≤ｘ＜ａｉｊ ， ｉ∈Ｎ，ｊ∈Ｍ，
（ ２）
(Ｒ
((ａＲｉｊ
－
ｘ
ＭＲ
ＭＲ
Ｒ
ａｉｊ ≤ｘ≤ａｉｊ ，
２ 决策方法
进行多属性决策， 实际上是对各方案作出综合属性值的
比较排序。根据规范化矩阵 Ｒ＝（ｒ! ）ｉｊ ｍ×ｎ 及属性权重向量 ｗ＝（ｗ１，
ｗ２，…ｗｍ）Ｔ 可知， 利用线性加权和法计算方案的综合属性值为
ｍ
% ｚ!ｉ＝ !ｒｉｊｗｊ， ｉ∈Ｎ
（ ６）
ｊ＝１
由前面定义可知 ｄ（ｒ!ｉｊ（α），ｒ!ｋｊ（α））
０
， ｊ∈Ｍ
１
ｄ（!ｒｉｊ（α）， ｒ!ｋｊ（α））ｄα
（ １２）
ｊ ＝ １ｉ ＝ １ｋ ＝ １
０
在 求 出 属 性 最 优 权 重 向 量 ｗ＝（ｗ１，ｗ２，…ｗｍ）Ｔ 之 后 ， 通 过 式 （ ６） 可算出各方案综合属性值 ｚ!ｉ（ｉ∈Ｎ）。由于 ｚ!ｉ（ｉ∈Ｎ）仍是梯形 模糊数数， 不便于直接对方案进行排序。因此， 可利用梯形模
数， 则称
Ｐ（ａ$ ≥ｂ,）＝λｍｉｎ2ａＭＬ－
ａＬ＋ｂＭＬ－ ｂＬ，ｍａｘ（ａＭＬ－ ａＭＬ－ ａＬ＋ｂＭＬ－ ｂＬ
ｂＬ，０）6
＋
１ ｍｉｎ2ａＭＲ－ ａＭＬ＋ｂＭＲ－ ｂＭＬ，ｍａｘ（ａＭＲ－ ｂＭＬ，０）6
２
ａＭＲ－ ａＭＬ＋ｂＭＲ－ ｂＭＬ
＋（
１ ２
－
λ） ｍｉｎ2ａＲ－
ａＭＲ＋ｂＲ－ ｂＭＲ，ｍａｘ（ａＲ－ ａＲ－ ａＭＲ＋ｂＲ－ ｂＭＲ
（!ｒｉｊ）ｍ×ｎ， 进而给出 α截集下的规范矩阵 Ｒ（α）＝（!ｒｉｊ（α））ｍ×ｎ。 （３）由公式（ １２） ， 求得属性权重向量 ｗ。
（４）按公式（ ６） ， 求得各方案的综合属性值 ｚ!ｉ（ｉ∈Ｎ）。 （５）根据决策者对待风险的态度 λ取值， 利用梯形模糊数
比 较 的 可 能 度 公 式 （ ５） ， 计 算 各 方 案 可 能 度 ｐｉｊ＝Ｐ（ｚ! ｉ≥ｚ! ｊ）（ｉ，ｊ∈
（４）
将决策矩阵 Ａ＝（ａ$ｉｊ）ｍ×ｎ 转化为规范化矩阵 Ｒ＝（ｒ$ｉｊ）ｍ×ｎ。
设
０≤α≤１，
则梯形模糊数
ｒ$ ｉｊ
的
α－
截集为
ｒ$
Ｌ
ｉｊ（α）＝［ｒｉｊ
Ｒ
（α），ｒｉｊ
Ｌ
Ｌ ＬＭ Ｌ
Ｒ
Ｒ Ｒ ＲＭ
（α）］， 其中 ｒｉｊ （α）＝ｒｉｊ ＋（ｒｉｊ － ｒｉｊ ）α， ｒｉｊ （α）＝ｒｉｊ － （ｒｉｊ － ｒｉｊ ）α， ｉ∈Ｎ， ｊ∈Ｍ，
１ 预备知识
设不确定性多属性决策问题的方案集为 Ｘ＝2ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ6，
属 性 集 为 Ｕ＝2ｕ１，ｕ２…，ｕｍ6， 属 性 的 权 重 向 量 记 为 ｗ＝（ｗ１，ｗ２， …
ｗｍ）Ｔ， 其满足：
ｍ
!ｗｊ＝１，ｗｊ≥０，ｊ＝１，２，…，ｍ
（ １）
ｊ＝１
记 Ｎ＝2１， ２， …，ｎ6， Ｍ＝2１， ２， …，ｍ6， 设方案 ｘｉ∈Ｘ， 按第 ｊ 个
Ｎ）， 并建立可能度互补矩阵 Ｐ＝（ｐｉｊ）ｎ×ｎ。
（６）利用公式（ １３） ， 求得可能度矩阵 Ｐ 的排序向量 ω＝（ω１， ω２，…，ωｎ）Ｔ， 并按其分量大小对方案进行优劣排序。
表１
各方案的属性值
方案
属性
ｘ１
ｘ２
ｘ３
ｕ１
（５， ６， ７， ８．６７）
（９， １０， １０， １０） （７， ７．５４， ８．６７， ９．６７）
关键词： 多属性决策； 梯形模糊数； 属性； 权重 中图分类号： Ｏ２９ 文献标识码： Ａ 文章编号： １００２－ ６４８７（ ２００７） ０５－ ０１４０－ ０２
０ 引言
多属性决策是对具有多个属性的有限个方案， 按某种决 策 准 则 进 行 择 优 或 排 序 的 一 种 多 目 标 决 策 。目 前 多 属 性 决 策 的 理 论 和 方 法 在 工 程 设 计 、经 济 、管 理 、军 事 等 多 个 领 域 中 有 着广泛的应用。在多属性决策中， 由于客观事物的复杂性和 不确定性以及人类思维的模糊性， 人们往往不能确切地给出 方案属性值等， 而通常用模糊数来反映属性值等信息。因此， 对于模糊多属性决策问题的研究有着重要的理论意义和实 际 背 景 。本 文 研 究 属 性 权 重 信 息 完 全 未 知 且 属 性 值 以 梯 形 模 糊数给出的不确定多属性决策问题。首先， 给出了梯形模糊 数决策矩阵的规范化方法。然后， 利用 α－ 截集得出区间数决 策矩阵， 基于区间数相离度给出确定属性权重的计算公式。 最后， 利用基于可能度矩阵的排序方法， 确定出方案的排序 向量。