1 11 1 21
031
041
k
e 22
e1,2
k
2
32
042
对称
k
e
33
e2,3
k
3 43
加单元
e1,4
k
e 11
④
k
1 21
031
k
3 44
k
4 41
k
e 22
e 1, 2
k
2 32
042
对称
k
e 33
e2,3
k
3 43
k
e3,4
e 44
e1,4
k
e 11
k
1 21
M2 Y2
①2 1
X2
x
Y3
②
2 3
M3 X3
③
4 3
图10-6 例1题图
F1 FF32 F4
k k
1
11
1
21
0
0
k
1
12
k
1
22
k
2
22
k
2
32
0
0
k
2
23
k
2
33
k
3
33
k
3
43
0 1
0
k
3
34
k
ห้องสมุดไป่ตู้
3
44
32 4
通过互换行列后调整后的原始结构刚度方程为
F2 FF13 F4
对称u2 10
EA 0.35
l 1
0
1.35 0 0
1.35 0.35
1.35uvv323
10
0
0
y
②
2
3
⑥
①⑤
③
1
④
4x
图（a）
解之得
u2
1.35
对称 1 10
26.94
uv23
v3
l 0.35
EA 1
0
1.35 0 0
1.35 0.35
1.35
10
k
1
12
k
1 22
EA 0 l 0
1 0
0
0 1 0 1
单元②，i=2，j=3，=0
1
对称
k 2
k k
2 22
2
32
k k
2 23
2
33
EA
0
l 1
0 0
1
0 0 0 0
单元③，i=4，j=3，=/2
k 3
k k
3
44
3
34
0
k k
3
43
3
33
EA 0 l 0
0
1 00 1 0
(5)引入边界条件
采用静力凝聚法，因结点1、4的位移为零，则
1T T4 T 0 0 0 0T
T2 T3 T u2 v2 u3 v3 T
y
②
2
3
⑥
①⑤
③
1
④
4x
图（a）
F FT2
F
T 3
T
10
10
0
0T
F F1T FT4 T X1 Y1 X 4 Y4 T
1.35
k
1
22
k
k
1
32
k
1
12
0
2
22
k
2
23
k
2
33
k
3
33
0
k
3
43
k
1
21
0
k
2
33
k
3
33
0
0 2
k
3
34
0
k
3
44
13 4
为了清楚起见。令：
F
F
T 2
FT3 T X 2
Y2
M2
X3
Y3
M3 T
代表自由结点上的荷载列向量，为已知值；
F
F
T 1
F
T2 u2 v2 T
T3 u3 v3 T T4 u4 v4 T 0 0T
F1T X1 Y1 T
FT2 X 2 Y2 T 10 10T FT3 X3 Y3 T 0 0T
FT4 X 4 Y4 T
(3)单元分析
单元①，i=1，j=2，=/2
0
对称
k 1
k k
1
11
1 21
031
k
4 41
k
e 22
e 1, 2
k
2 32
042
对称
k
e 33
e2,3
k
3 43
k
e3,4
e 44
加单元
⑤
e1,4
k
e 11
k
1 21
031
k
4 41
k
e 22
e 1, 2 , 5
k
2
32
k
5 42
对称
k
e
33
e2,3
k
3 43
k
e3,4,5
e 44
y ②
2 ⑥
例3计算图示桁架各杆的内力，设各杆的EA=常数。
10kN 10kN l
y
②
2
3
⑥
①⑤
③
l
1
④
4x
图10-9 例3题图
图（a）
解：(1)结构离散化，6个单元，4个结点，整体坐标系如图示。
(2)建立结构的位移和结点力列向量
0 1T T2 T3 T4 T
F0
F
T 1
FT2
FT3
FT4 T
其 中 ，1T u1 v1 T 0 0T
对称
K
K
EA 0.35 l 1
1.35 0
1.35
0
0 0.35 1.35
0
K
EA
0
l 0.35
0.35
0 1 0.35 0.35
0.35 0.35
0 0
0.35
0.35
0
1
(6)解方程组求结点位移及约束反力
结构刚度方程为[K]{} ={F} ，代入数据得
1.35
对称
1
y
②
2
3
⑥
①⑤
③
1
④
4x
图（a）
单元④，i=1，j=4，=0
1
对称
k 4
k k
4
11
4 41
k k
4
14
4 44
EA
0
l 1
0 0
1
0 0 0 0
单元⑤，i=4，j=2，=3/4, l5 2l
k 5
k k
5
44
5
24
2
4
k k
5
42
5
22
EA
l
2 4
2 4
2 4
2 4
e 3, 4,5
e 44
1.35
对称
0.35
1.35
0
0 1.35
K 0
EA
0
l 0.35
1 0.35
0.35 1
1.35 0
1.35
0.35 0.35 0
0 0.35 1.35
1
0 0.35 0.35 0 0 1.35
0
0
0.35 0.35 0 1 0.35 1.35
0
l EA
14.42
21.36
0
5.58
求约束反力 因为{F} =[K] {} ，即
X1
0
Y1 X4
Y4
EA
0
l 0.35
0.35
0 1 0.35 0.35
0.35 0.35
0 0
0.35u2 5.5
0.35
0
1
uv23 v3
149..49kN
1、静力凝聚法
这是一种比较适用于手算的边界条件引入方法。其过程是通过互
换行列的方法重新排列原始刚度方程，使得待求结点位移分量位于方
程中位移向量的前面，结点位移分量为已知的位于方程中位移向量的
后面。
如在例1中1、4号结点的位移分量已
知为0，2、3号结点的位移分量为待求量。 调整前的原始结构刚度方程为
y 1
10
(7)求各杆的杆端力
单元①，i=1，j=2，=/2
1 u1
v1
u2
v2 T
l 0
EA
0
26.94 14.42T
F1 T1 k1 1
0
对称
k 1
EA 0
1
l 0 0 0
0 1 0
1
y ②
2 ⑥
①⑤
1
④
3 ③ 4x
图（a）
cos sin 0
0
0 1 0 0
T
1
s in
则把调整后的原始刚度矩阵分块后可得
F F
K K
K
K
上式可得 F K
4 T
y 1
M2 Y2
①2 1
X2
x
Y3
②
2 3
M3 X3
③
4 3
图10-6 例1题图
对于例1
K
K K
22 32
K 23 K 33
k
1 22
k
k