跟踪误差约束下的资产组合最优化菲利普·乔瑞这篇文章探究了服从于一种对于TEV【跟踪误差波动；TEV 原则（即在给定期望超额收益的前提下, 使跟踪误差的方差最小）；TE的含义：即投资管理者证券组合P 的收益与参考证券组合B 的收益之差】的约束下动态资产组合的风险与收益的关系，TEV也能够根据VaR得以说明。

【VaR的含义：在一定概率水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。

】对于被授予挫败基准组合这一工作的积极的管理者而言，这种受约束的投资组合是一种典型的设置。

而这种设置的问题在于资产组合的管理者不注意总的组合风险，这很大程度上会导致低效率的资产组合，除非强加一些额外条件。

这篇文章的深入研究说明受约束的TEV资产组合由均值－方差平面上的一个椭圆描述。

这一结果导致大量的新的发现。

椭圆扁平的形状增加了一个对于总体资产组合波动的约束，而且也因此能够充分地改进动态资产组合的施行。

一般而言，计划的发起人应该集中注意力于控制总的组合风险。

在典型的资产组合委托中，投资者将资产的管理权分配给资产组合的管理者，而后者肩负着挫败基准组合的工作。

当投资者对动态资产组合的业绩进行评论时，论点在于增加的价值是否符合所承担的风险。

而当业绩的酬金考虑进来时，这个论点显得特别重要。

业绩的酬金导致一种像期权般的模式来进行对管理人员的补偿，管理人员便可能有一种承担更大的风险而增加期权价值的动机。

为了控制这一行为，机构的投资者通常对动态资产组合对于基准组合的背离的波动加以限制，这也就是为人所知的跟踪误差波动状态（TEV）。

这种设置的问题在于，它会导致管理人员仅仅在超额收益空间来进行组合的最优化，而完全忽略投资者总的资产组合的风险。

在一篇具有深刻见解的论文中，Roll（1992）注意到超额收益的最优化导致一种不令人满意的结果：动态资产组合系统地含有比基准组合还高的风险，并且不是最优的。

Jorion（2002）考查了一个放大的指数基金样本，选取的这种基金很可能可以通过一种形式上的超额收益最优化，而Jorion发现这种基金系统地含有比基准组合更高的风险。

因此，代理问题的确存在。

既然存在这些问题，那么金融行业还要维持对于控制跟踪误差风险的普遍强调呢？据Roll推测，管理人员的多样化可以减轻TEV最优化的固有缺陷，但是在稍后的内容中我将说明事实并非如此。

在本文中，我研究了在对动态组合资金增加额外限制而不排除通常的TEV 约束的情况下，代理问题是否将得以修正。

由TEV约束在实际中应用的十分广泛，我将视其为已知前提，即使这种限制并非最理想的。

在最初的均值方差平面中得到固定TEV的边界。

传统上，TEV一直是在事后得以检验（例如从历史超额收益的波动中得以检验），但最近时期，例如VaR这样的风险先验方法已经允许了对TEV的预测。

VaR的本质是对当前基于最佳风险预测的资产组合头寸衡量其不利的损失。

在对资产组合收益的一种分布假设下，超额收益VaR与先验的TEV方法是相等的。

如今，VaR限制被普遍的用于确保动态资产组合不会偏离基准组合太远。

此外，养老基金正日益通过使用“风险预算”来分散它们的风险，其中“风险预算”对于积极的管理者而言，可以定义为由最优的均值方差分配到VaR分配的转化。

VaR系统的广泛应用使得考虑加在动态资金组合上的其他事先限制成为可能。

对于这种探索，我分析了一种TEV 约束下，动态资产组合的风险与收益的关系。

本文的主要贡献是对于这些分析出的结果给予引出和解释。

我还通过一个例子对这些分析的结果给予说明。

除了Roll 的开创性的论文以外，仅有一些对于这一重要而实用的主题的研究是可利用的。

完全和相对空间中的有效边界在这部分中，回顾对于完全和相对空间中的有效边界最优化的结果设置。

考虑一位被授予挫败一种指数或基准组合这一工作的积极的管理者。

对于这项工作，这位管理人员必须依照指数或许其它资产来权衡资产的头寸。

这位管理人员如下着手做这项工作。

定义如下变量：q =指数向量，其分量是N 种资产样本权重。

【基准组合向量】x =对指数的偏离向量。

【跟踪误差】p q =q+x=分量为资产组合权重的向量。

E =预期收益的向量。

V =资产收益的协方差矩阵。

为了保持线形，假设允许卖空（例如，对于任意资产i ，总的动态资产分量i i x q + 能够为负）。

否则，问题可以归纳为一个没有闭型解的二次最优化问题。

在实践中，基准组合有正的分量i q 。

一般地，它关于资产可以有负的或为零的分量。

这样，资产领域可以拓展指数的成分。

但是这种最优化必须包含基准组合中的资产。

现在，预期收益率和方差可以由矩阵记号的形式写为B q E μ′= ＝指数基金的预期收益2Bq Vq σ′= ＝指数基金收益的方差 x E εμ′= ＝预期超额收益2T x Vx εσ′==＝跟踪误差的方差注意到这些方法都是风险和收益的先验方法，因为x 代表当前的偏离而V 代表经验范围内对协方差矩阵的最优推测。

给定资产组合的初值0w ，跟踪误差的VaR 为0VaR w εασ= （1）其中参数α依赖于分布假设和置信水平。

例如，假设成正态分布的收益意味着α是在1.645处单尾置信水平为95％的集合。

【分位数】动态资产组合预期收益和方差为()p B q x E εμμμ′=+=+ (2)和22()()2.pB q x V q x q Vx x Vx σσ′′′=++=++ (3) 投资问题服从完全投资资产组合的约束，也就是说，全部的资产组合的分量（q+x ）之和为单位一。

这一约束可以写为()q x ′+1＝1. （4）其中1代表单位向量。

因为基准组合分量之和也是单位一，所以资产组合偏离向量的分量之和为0，这意味着x ′1为0。

这样，在加上一个“套期保值基金”的指数基金中，动态资产组合能够被构造一个含有多头和空头，代表动态观点的头寸。

完全收益空间中的有效边界。

附录A 回顾了传统的均值方差有效边界的分析，其中没有无风险资产。

资产组合的问题可以由服从p G μ=的预期收益和p q ′1＝1的完全投资约束下的2p σ最小化提出。

求解方法由方程A2给出。

有效集可以描述成(,)σμ空间中渐近线的斜率为其中d 是一个关于有效集特征的函数。

这个斜率表示对于资产集收益与风险的比率。

超额收益空间的有效边界。

现在，考虑超额收益空间的最优化问题。

我们可以通过最大化预期超额收益来描绘出跟踪误差，即在服从固定的跟踪误差数量，T x Vx ′=和x ′1＝0的约束下，最大化x E εμ′=。

在附录B 中回顾它的解为1(1)MV x E μ−=−, (5) 其中MV μ是全局最小方差资产组合的预期收益率。

Roll 注意到这个解是完全独立于基准组合的，因为它并不包含q 。

令人意想不到的结果是积极的管理者不去注意基准组合。

换句话说，给定5000种用来选择的美国股票，资产组合的管理人员将采取相同的积极的行动，而不论指数是S&P500还是Russell2000。

这一结果含有显著的重要意义，因为这种行为对于投资者不是最优的。

在对于超额收益的均值易变空间中，上述的有效边界为εεμ==, (6)它在跟踪误差波动空间中是线性的，TEV εσ==图1所示。

基准组合在纵轴上，因为它的跟踪误差为0。

TEV 的预期超额收益率。

信息比通常用来比较投资管理人员的业绩。

例如，Grinold 和Kahn(1995)声称一个0.50的信息比是“好的”0.50。

如果管理者的业绩仅单独地根据超额收益来衡量，他或她将挑选有效边界上面部分的点。

例如，管理者可以有一个效用函数来平衡预期价值和与预期价值相悖的跟踪误差波动。

注意到由于有效集由一条直线构成，所以最大的夏普比率【单位风险报酬】对于资产组合的分配不是一个可用的准测。

在实践中，预期收益是不能为投资者观察到或证实存在的。

取而代之的是，给定资产组合的管理人员一个关于TEV 的约束来决定资产的最优分配。

这样的分配由有效集和表示常量εσ的垂线的交集给出。

图1显示的εσ＝4%的情形。

加上一个0.5的信息比，结果是200bps 的预期超额收益。

图1。

超额收益空间中的TE 边界完全收益空间中的TE 边界。

在这个信息下，我们可以像Roll 在传统完全收益空间中的做法一样来描述TE 边界。

图2显示这个边界是一条随标记穿过基准组合的线。

每一个标记都代表一个TEV 的固定值（1％，2％等等）。

这些点基于摩根士丹利资本国际提供的全世界普通股指数数据，表示各种各样的资产组合。

在1980－2000期间德国、日本、英国和美国的保值总收益用美国美元衡量。

除了普通股资产，第五个资产，一个美国债券综合指数－雷曼兄弟在资产组合中得以应用。

协方差矩阵是基于历史数据的。

预期收益是任意设定的并且是为了满足有效集参数而选取的。

图2 中的图表显示了一个不经意的TE 最优化的效果：TE 的边界不是移向真正的有效边界（例如，向左上方移向基准组合），而是移向右上方。

这一结果增加了资产组合的总波动，这是仅注意超额收益而忽略总体收益的直接结果。

对于这个数据集，表1显示了有效边界和基准组合的性质。

基准资产组合B 的预期收益和波动在各种各样的全世界的股票基准组合中是典型的。

在一个5％的无风险利率下，它的夏普比是0.36。

【（10％－5％）/13.8％】图2。

完全收益空间中的TE边界注：MV＝全局最小方差资产组合；E=一个在有效边界上，与基准组合具有相同风险水平的组合；P＝一个具有4％TE的组合；L＝一个由杠杆作用而与资产组合P具有相同风险的组合。

表1。

基准组合和有效集的性质注：资产组合MV达到全局最小方差；资产组合E与B具有相同的风险但却是有效的；资产组合L将杠杆作用施于基准组合使其具有像资产组合P一样的风险。

资产组合MV的预期收益比基准组合的要少，这应该是事实，否则，指数将是效率非常低的。

资产组合E定义为在有效边界上与基准组合具有相同风险水平的资产组合（例如，13.8％）。

资产组合E的数量对于积极的管理者达到预期业绩是具有典型性的，0.50的信息比。

【？】现在把焦点放在伴有4％TE的资产组合P。

相对于基准组合，资产组合的预期收益上有200bps的增长是不符合实际的，因为它反映了资产组合P的更高的风险。

为了说明这点，图2显示了一个杠杆作用下的资产组合－L,例如股票指数期货达到，通过这种方式它的总风险也是15.4％。

资产组合L在基准组合上方60bps处－200bps的超额业绩中不可忽略的一部分。

所以，图2 说明局部值附加这种TEV资产组合的点是靠不住的。

TEV的最优化引起了基金风险的增加。

管理者间的多样性价值Roll 推断风险的增加可以通过积极的管理者间的多样化而减轻。

管理者的多样化是有益的吗？如果资产组合由N 个管理者公平地投资，则组合资产的总收益P R 由基准组合的收益B R 加上动态超额收益的均值,i R ε给出：总的资产组合的方差能够从附录B 中的方程B6得出。