1 数列的全章复习与巩固
【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式na与前n项和公式nS的关系，能通过前n项和公式nS求出数列的通项公式na；
4．掌握常见的几种数列求和方法.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：数列的通项公式
数列的通项公式
一个数列{}na的第n项na与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式()nafn来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
要点诠释：
①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；
②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成(1)nna，也可以写成cosnan；
③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
通项na与前n项和nS的关系： 数列的通项11,(1),(2)nnnSnaSSn
通项公式
等差中项
前n项和公式 等差数列 性质
通项公式
等比中项
前n项和公式 等比数列 性质 数列
数列前n项和 数列的递推公式
应
用
2 任意数列{}na的前n项和12nnSaaa；
11(1)(2)nnnSnaSSn
要点诠释：
由前n项和nS求数列通项时，要分三步进行：
（1）求11aS，
（2）求出当n≥2时的na，
（3）如果令n≥2时得出的na中的n=1时有11aS成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
数列的递推式：
如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项na与它的前一项1na或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
要点诠释：
利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.
要点二：等差数列
判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：1nnaad（常数）{}na是等差数列；
②中项公式法：122(*){}nnnnaaanNa是等差数列；
③通项公式法：napnq（p，q为常数）{}na是等差数列；
④前n项和公式法：2nSAnBn（A，B为常数）{}na是等差数列。
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。
等差数列的有关性质：
（1）通项公式的推广：+()nmaanmd－
（2）若*()mnpqmnpqN、、、，则mnpqaaaa；
特别，若2mnp，则2mnpaaa
（3）等差数列na中，若*mnpmnpN、、（、、）成等差数列，则mnpaaa、、成等差数列.
3 （4）公差为d的等差数列中，连续k项和232,,kkkkkSSSSS，… 组成新的等差数列。
（5）等差数列{}na，前n项和为nS
①当n为奇数时，12nnSna；12nSSa奇偶；11SnSn奇偶；
②当n为偶数时，122()2nnnaaSn；12SSdn偶奇；212nnaSSa奇偶。
（6）等差数列{}na，前n项和为nS，则mnmnSSSmnmn（m、n∈N*，且m≠n）。
（7）等差数列{}na中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则pqmnSSSSmnpq。
（8）等差数列{}na中，公差d，依次每k项和：kS，2kkSS，32kkSS成等差数列，新公差2'dkd.
等差数列前n项和nS的最值问题：
等差数列{}na中
① 若a1＞0，d＜0，nS有最大值，可由不等式组100nnaa来确定n；
② 若a1＜0，d＞0，nS有最小值，可由不等式组100nnaa来确定n，也可由前n项和公式21()22nddSnan来确定n.
要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.
要点三 ：等比数列
判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：1nnaqa（q是不为0的常数，n∈N*）{}na是等比数列；
（2）通项公式法：nnacq（c、q均是不为0的常数n∈N*）{}na是等比数列；
（3）中项公式法：212nnnaaa（120nnnaaa，*nN）{}na是等比数列.
等比数列的主要性质：
（1）通项公式的推广：nmnmaaq
4 （2）若*()mnpqmnpqN、、、，则mnpqaaaa.
特别，若2mnp，则2mnpaaa
（3）等比数列na中，若*mnpmnpN、、（、、）成等差数列，则mnpaaa、、成等比数列.
（4）公比为q的等比数列中，连续k项和232,,kkkkkSSSSS，… 组成新的等比数列。
（5）等比数列{}na，前n项和为nS，当n为偶数时，SSq偶奇。
（6）等比数列{}na中，公比为q，依次每k项和：kS，2kkSS，32kkSS…成公比为qk的等比数列。
（7）若{}na为正项等比数列，则{log}ana（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}na为等差数列，则{}naa（a＞0且a≠1）为等比数列。
（8）等比数列{}na前n项积为nV，则(1)21(*)nnnnVaqnN
等比数列的通项公式与函数：
11nnaaq
①方程观点：知二求一；
②函数观点：111nnnaaaqqq
01qq且时，是关于n的指数型函数；
1q 时，是常数函数；
要点诠释：
当1q时，若10a，等比数列{}na是递增数列；若10a，等比数列{}na是递减数列；
当01q时，若10a，等比数列{}na是递减数列；若10a，等比数列{}na是递增数列；
当0q时，等比数列{}na是摆动数列；
当1q时，等比数列{}na是非零常数列。
要点四：常见的数列求和方法
公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和。
5 分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.
裂项相消求和法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若1()()naAnBAnC，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则)11(1))((1CAnBAnBCCAnBAnan，如an= 1(1)nn111nn
错位相减求和法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：nnncba, 其中 nb是公差d≠0等差数列，nc是公比q≠1等比数列，如an=(2n-1)2n.
一般步骤：
nnnnncbcbcbcbS112211，则
1211nnnnnqSbcbcbc
所以有13211)()1(nnnncbdccccbSq
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.
要点五：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的一般方法步骤.
①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
⑴明确问题属于哪类应用问题；
⑵弄清题目中的主要已知事项；
⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.
【典型例题】
6 类型一：数列的概念与通项
例1．写出数列：15，103，517，267，……的一个通项公式.
【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221,231, 241,251,…可用2(1)1n表示；
【解析】通项公式为：221(1)(1)1nnnan.
【总结升华】
①求数列的通项公式就是求数列中第n项与项数n之间的数学关系式。如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f，(2)f，(3)f，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n(项数)为自变量的函数()fn的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式1】数列：1，58，157，924，……的一个通项公式是（ ）
A.2(1)21nnnnan B.(3)(1)21nnnnan
C.2(1)1(1)21nnnan D.(2)(1)21nnnnan
【答案】采用验证排除法，令1n,则A、B、C皆被排除，故选D.
【变式2】给出数表：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
… … … …
（1）前m行共有几个数？
（2）第m行的第一个数和最后一个数各是多少？
（3）求第m行的各数之和；