x0 x
x0 1
x0 1 x
(2) lim e x ex lim e x ex 2 x0 sin x x0 cos x
(3) lim sin x sin a lim cos x cos a
xa x a
xa 1
(4) lim sin 3x lim 3cos 3x 3 x tan 5x x 5sec2 5x 5
习题 32 1 用洛必达法则求下列极限 (1) lim ln(1 x) x0 x (2) lim e x ex x0 sin x (3) lim sin x sin a xa x a (4) lim sin 3x x tan5x
(5) lim ln sin x x ( 2x)2
2
x x0
x0
2 验证极限 lim x sin x 存在 但不能用洛必达法则得出 x x
知识类+
3
解 lim x sin x lim (1 sin x) 1 极限 lim x sin x 是存在的
x x
x
x
x x
但 lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x) 不存在不能用洛必达法则
x
x x 1
x
1
x x a x 1
x
x2
所以
lim (1
a)x
lim
x ln(1 a )
ex
ea
x
x
x
(15)因为 lim xsin x lim esin xln x
x0
x0
1
而
lim sin x ln x lim ln x lim
x
lim sin 2 x 0
x0
x0 csc x x0 csc x cot x x0 x cos x
lim
x0
1
tan 7x 1
sec2 sec2
7x 7 2x 2
7 2
lim
x0
tan 2x tan 7x
7 2
lim sec2 x0 sec2
2x 2 7x 7
1
tan 2x
(8) lim tan x lim sec2 x 1 lim cos2 3x 1 lim 2 cos 3x( sin 3x) 3
(6) lim xm am xa x n a n
(7) lim ln tan 7x x0 ln tan 2x
(8) lim tan x x tan 3x
2
1
ln(1 )
(9) lim
x
x arc cot x
(10) lim ln(1 x2 ) x0 sec x cos x
(11) lim x cot 2x
lim x 1
x0 2 cos x( sin x) x0 sin x
(11) lim x cot 2x lim x lim 1 1
x0
x0 tan 2x x0 sec2 2x 2 2
知识类+
2
1
1
(12) lim x 2im
et
(注当 x0 时 t
(5) lim ln sin x lim
cot x
1 lim csc2 x 1
x
(
2 x) 2
x
2(
2x) (2)
4
x
2
8
2
2
2
(6) lim x m a m lim mxm1 mxm1 m a mn xa x n a n xa nx n1 na n1 n
(7) lim ln tan 7x x0 ln tan 2x
x arc cot x x
1
x x x 2 x 1 2x x 2
1 x2
(10) lim ln(1 x2 ) lim cos x ln(1 x2 ) lim x2 (注cosxln(1x2)~x2)
x0 sec x cos x x0 1 cos2 x
x0 1 cos2 x
lim
2x
x (x)
x 1
x
x 2 sin 1
3 验证极限 lim
x 存在但不能用洛必达法则得出
x0 sin x
x2 sin 1
解 lim
x lim
x
x sin 1
1 0 0 极限 lim
x 2 sin 1 x
是存在的
x0 sin x x0 sin x
x
x0 sin x
(x2 sin 1 )
2x sin 1 cos 1
x
t an 3x
x
sec2
3x 3
3
x
cos2 x
3
x
2 cos x( sin x)
2
2
2
2
lim cos 3x lim 3sin 3x 3
x cos x
x sin x
2
2
1 ( 1 )
ln(1 1 )
1 1
(9) lim
x lim x
x2 lim 1 x2 lim 2x lim 2 1
1
x0
x0 1 t t t 1
x2
x2
(13) lim x1
2 x2 1
1 x 1
lim
x1
1 x x2 1
lim
x1
1 2x
1 2
(14)因为
lim (1
a)x
lim
x ln(1 a )
e x
x
x
x
1 ( a )
而
lim
x(ln(1
a)
lim
ln(1
a) x
lim
1
a x
x2 lim ax lim a a
x0
1
(12) lim x 2e x2 x0
(13) lim x1
2 x2 1
1 x 1
(14) lim (1 a ) x x x
(15) lim xsin x x0
知识类+
1
(16) lim ( 1 )tan x x0 x
1
解 (1) lim ln(1 x) lim 1 x lim 1 1
所以
lim xsin x lim esin xln x e0 1
x0
x0
(16)因为 lim ( 1 )tan x etan x ln x x0 x
1
而
lim tan x ln
x0
x
lim
x0
ln x cot x
lim
x0
x csc2
x
lim sin 2 x0 x
x
0
所以
lim(1)tanx limetanxln x e0 1
但 lim
x lim
x
x 不存在不能用洛必达法则
x0 (sin x) x0
cos x
4
讨论函数
1
f
(x)
[
(1
x) e
x
1
]x
1
e2
x 0 在点 x0 处的连续性 x0
解
1
1
1
f (0) e 2 lim f (x) lim e 2 e 2 f (0)
x0
x0
1
因为
lim
f (x)
lim
[(1
x)
x
1
]x
lim
1 [
1
ln(1
x)1]
ex x
x0
x0 e
x0
而
lim
1 [1 ln(1 x) 1]