T T 1 dT 1 2 ; dr ln(r2 r1 ) r
T1 T2 1 d 2T dr 2 ln(r2 r1 ) r 2
若 T1 T2 :
若 T1 T2 :
d 2T 0 2 dr
d 2T 0 2 dr
向下凹
向上凸
单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热
T
h1
Tf 1
T1 T2
第二层：q

第 i 层：q

Aki l (Ti Ti 1 ) Ti 1 Ti q '' i li ki
多层、第三类边条
T
Tf1 T1 h1
Tf 1 Tf 2 q n li 1 1 h1 A i 1 ki A h2 A
对流热阻
T2
T3
k1 L1 k2 k3 L 2 L3 T4 Tf2 h2 q
W W m
T1 T2 k1 T3 k2 T4 k3
T1 Tn 1 q' n ri 1 1 ln ri i 1 2 ki
T1
通过单位长度圆筒壁的热流量
Rt1
T2
Rt2 q
T3
Rt3
T4
多层圆筒壁
Tf 1 Tf 2 q' n ri 1 1 1 1 ln 2 h1 r1 i 1 2 k i ri 2 h2 rn 1
一维、稳态、无内热源、常物性：
d dT (r )0 dr dr
(a)
第一类边界条件：
r r1时 T T1 r r2时 T T2
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分 第二次积分
dT r c1 dr

T c1 ln r c2
应用边界条件
获得两个系数
T1 c 1 ln r1 c 2 ; T 2 c 1 ln r2 c 2
q
T1 T2 q ' r1 2 r1h1 (T f 1 T1 ) q ' r2 1 ln 2 k r1 q ' r 2 2 r2 h2 (T2 T f 2 )
Tf 1 Tf 2 q' r 1 1 1 ln 2 h1 2 r1 2 k r1 h2 2 r2 Tf 1 Tf 2 R 'total
W
注意：虽然是稳态情 况，但热流密度q’’与 半径 r 成反比！
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
Rt ,cond T ln(r2 / r1 ) q 2 kl
圆筒壁内温度分布：
ln(r r1 ) T T1 (T1 T2 ) ln(r2 r1 )
T1 T2
圆筒壁内温度分布曲线的形状？
第三章 稳态导热
通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物 体的导热
本节将重点针对一维、稳态、常物性、无内热
源情况讨论。
直角坐标系：
T T T T c (k ) (k ) (k )q t x x y y z z
Hale Waihona Puke 1 单层平壁的导热 a 几何条件：单层平板；L b 物理条件：、c、k 已知；无内热源 c 时间条件：稳 态 导 热 : T t 0 d 边界条件：第一类
Tf 1 Tf 2 q 15 L 1 1 1 0.6875 1/ 2 N 1 A 2 N 1 k 1 2 h1 h2
2 W / m
（3）N=10时，计算第5、6层平壁交界面处的温度。 N=10时，导热速率为：
q 60 0.6875 1/ 2 N 1
R
cond ,total Rconv ,1 Rconv ,2
Tf 1 Tf 2

热流密度为：
q ''
Tf 1 Tf 2 60 L 1 1 1 0.6875 1/ 2 N 1 2 N 1 k 1 A 2 h1 A h2 A
W
6、通过球壳的导热
对于内、外表面维持均匀衡定温度的空心球 壁的导热，再球坐标系中也是一个一维导热 问题。相应计算公式为：
温度分布： 热流量： 热阻：
T T1 (T2 T1 ) 1 r1 1 r 1 r1 1 r2
4 k (T1 T2 ) q 1 r1 1 r2
Rt ,cond 1 1 1 4 k r1 r2
因此，第5、6层平壁交界面处的温度为：
T5,6 Tf 1 qRN 5,total 32.24 C
如果还需要考虑与周围环境 的辐射换热？
Tsur
1、辐射热阻和对流热阻应为 并联 2、若流体温度与墙壁温度相 等，可以合并为一个热阻
并联的情况？
4 单层圆筒壁的导热 圆柱坐标系：
T 1 T 1 T T c kr 2 q k k t r r r r z z
o
L
x
根据上面的条件可得：
T T d 2T c (k )q 2 0 t x x dx
控制 方程
第一类边条：
边界 条件
T T1
x
x 0, T T1 x L , T T2
T2 o L
直接积分，得：
dT c1 T c1 x c2 dx
ln( r r1 ) T T1 (T1 T2 ) ln( r2 r1 )
dT k T1 T2 q '' k dr r ln(r2 r1 )
求导
T1 T2 1 dT dr ln( r2 r1 ) r
2 W m
2 kl (T1 T2 ) q 2 rlq '' ln( r2 r1 )
W 87.33W
从热流体到第5、6层交界面处，总热阻为：
RN 5,total L 1 1 2 0.5469K / W 51 k 1 A 2 h1 A
由于第5、6层平壁交界面处的温度可以表示为：
q Tf 1 T5,6 RN 5,total
带入边界条件：
T2 T1 c1 L c2 T1
线性 分布
T2 T1 T T2 T1 q '' k T x T1 L L/k L dT T2 T1 带入Fourier 定律q T L / ( Ak ) L dx


接合面上各处的温度相等
T T1 T2 T3 k1
k2
k3 L2
T4
L1
L3
q
T1 Rt1 T2 Rt2 T3 Rt3 T4
三层平壁的稳态导热

边界条件：
x0 x li
i 1 n
T T1 T Tn 1

热阻： l1 Rt1 , k1 A
ln , Rtn kn A
l为各层厚度，即li=Li+1-Li
2
tf1
已知平壁相关尺寸、热导率；流体温度及对流换热系数； t3
h2 tf2
（1）当N=3时，请画出等效热网络图，并标明各部分热阻。
q
Tf 1
tf1
Rconv ,1 Rcond ,1 Rcond ,2 Rcond ,3 Rconv ,2
三层平壁的稳态导热
t1
t2
t3
t2
tf2
Tf 2
各热阻：
Rconv ,1 Rconv ,2 1 h1 A 1 h2 A
且 k(1)=1W/mK ， k(i+1)=2k(i) ，忽略辐射换热和各层平壁交界面
处的接触热阻。 （1）当N=3时，请画出等效热网络图，并标明各部分热阻。 （2）试用N表示通过复合平壁的热流密度和导热速率。 （3）N=10时，计算第5、6层平壁交界面处的温度。
分析：
h1 按题意，一维、稳态、平壁导热问题，第三类边界条件； t
Rcond ,1 L k 1 A Rcond ,3 Rcond ,2 L k 3 A L k 2 A
（2）试用N表示通过复合平壁的热流密度和导热速率。 平壁总热阻：
Rcond ,total Rcond ,1 Rcond ,2 ... Rcond , N L 1 1 1 ... A k 1 k 2 k N
Rt ,cond
L Ak
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2 、热阻的含义 热量传递是自然界的一种转换过程 , 与 自然界的其他转换过程类同 , 如 : 电量的 转换 , 动量、质量等的转换。其共同规律 可表示为 :过程中的转换量 = 过程中的动 力 / 过程中的阻力。 在电学中，这种规律性就是欧姆定律，即
k(1)=1W/mK，k(i+1)=2k(i)，因此
Rcond ,total L 1 1 1 L 1 ... 2 A k 1 k 2 k N k 1 A 2 N 1
导热速率为：
q Tf 1 Tf 2 Rtotal
t , cond
3 ）热阻的特点： 串联热阻叠加原则：在一个串联的热 量传递过程中，若通过各串联环节的热流 量相同，则串联过程的总热阻等于各串联 环节的分热阻之和。
3

多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料组成
例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥沙浆 层、红砖（青砖）主体层等组成 假设各层之间接触良好，可以近似地认为
假设单管长度为l，圆筒壁的外半径小于长 度的1/10，则此时可近似为沿半径方向的 一维导热
T1 q T2 T1 Rt
T2
r2 1 Rt ln 2 kl r1
T 1 T 1 T T c kr 2 q k k t r r r r z z