x
o 1
x
a 解：二次函数 f ( x) x ax 4 的对称轴为 x , 2 a 由图象可知只要 x 1 ，即 a 2 即可. 2
2
1 例3.判断函数 y x 在定义域 x
1, 上的单调性.
并给出证明
主要步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)；
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2.
(, 0] y x2 +2的单调增区间是 _______;
y x +2的单调减区间是_____1 -2
y=-x2+2
[0, )
2
1
2
x
变式1：讨论 变式2：讨论
y ax (a 0) 的单调性
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
当x1<x2时，
有f(x1)<f(x2)
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
x2
x
定 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为
上升
y
下降
y
局部上升或下降
y
y x 1
y x 1
y x2
o x o x o x
函数的这种性质称为函数的单调性 能用图象上动点 P（x，y）的横、纵坐标 在某一区间内， 关系来说明上升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
y
10 8 6 4
2
O -2 2 4
I
6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
I x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
证明：在区间
1, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
1 1 ) ( x2 ) x1 x2
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
函数的单调性
永 远 联 系 莫 分 华 离
罗 庚
切 莫 忘 几 何 代 数 统 一 体
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 无 形 时 少 直 觉
焉 能 分 作 两 边 飞
数 与 形 本 是 相 倚 依
,
,
——
北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
y
y x2
o x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
增区间.
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
a<0
b , 2a
返回
成果运用
若二次函数 f ( x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递 增，求a的取值范围。

成果运用
若二次函数 f ( x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递 增，求a的取值范围。
y y

o1
f(2) f(1) O 1 2x
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
y
(1) y
1 y x
1 ( x 0); x
x 讨论1：根据函数单调性的定义，
能不能说y
1 (, 0) , (0, ) y 的单调减区间是 _____________ x
？
1 ( x 0)在定义域( , 0) x 是单调减函数?
y ax bx c(a 0)
2
的单调性
成果交流
y ax
2
b bx c(a 0)的对称轴为 x 2a
单调增区间 单调减区间
y ax2 bx c
a>0
b , 2a
b , 2a
b , 2a
(0, )上
k 2试讨论 f ( x) (k 0) 在 ,0和 0, 上的单调性？ x
单调区间的书写：
函数在其定义域内某一点处的函数值 是确定的，讨论函数在某点处的单调 性无意义。若函数在区间端点处有定 义，则写成闭区间，当然写成开区间 也可以，若函数在区间端点处无定于， 则必须写成开区间。