第五讲 几种特殊类型函数的积分 一、回顾上节内容 分部积分法 二、本节教学内容 1.简单有理函数的积分； 2.简单三角函数有函数的积分； 3.简单无理函数的积分。 [教学目的与要求] 1.掌握简单有理函数的积分； 2.掌握简单三角函数有函数的积分； 3.掌握简单无理函数的积分。 [教学重点难点] 简单有理函数、三角函数与无理函数积分

§4.4 几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的不定积分 1.化有理函数为简单函数 两个多项式的商所表示的函数)(xR称为有理函数，即

mmmmmnnnnnbxbxbxbxbaxaxaxaxaxQxPxR122110122110)(

)()(



 （1）

其中n和m是非负整数；naaaa,,,,210及mbbbb,,,,210都是实数，并且

0,000ba． 当（1）式的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m，即mn时，称为有理真分式；当mn时，称为有理假分式． 对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如

12)1(112224xxxxxx．

多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题． 设有理函数（1）式中mn，如果多项式)(xQ在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积： )()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ．

其中srqpba,,,,,,,为实数；042qp，…，042sr；,,,,,

为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(xQxP总可以分解成如下部分分式之和，即 )()()()()(1121bxBaxAaxAaxAxQxP



)()(21112qpxxNxMbxBbxB



)()(21121222srxxSxRqpxxNxMqpxxNxM



srxxSxRsrxxSxR21222)(． （2）

其中iiiiiiSRNMBA,,,,,,,都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的． 可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：

（1）axA ，

（2）kaxA)( （k是正整数，2k），

（3）qpxxBAx2 （042qp）， （4）kqpxxBAx)(2 （k是正整数，04,22qpk）． 2. 有理函数的不定积分 求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．

（1）CaxAaxdaxAdxaxAln)(1，

（2）CaxkAaxdaxAdxaxAkkk1)(11)()()(， （3）dxqpxxBAx2 （042qp）． 将分母配方得)4()2(222pqpxqpxx，作变量代换2pxu，则dudxpux,2；由于04,0422pqqp，记224apq，于是

duauBpuAdxpqpxBAxdxqpxxBAx



22222

)2(

)4()2(

duauApBduauAu2222

2

CauaApBauAarctan2)ln(222

CpqpxpqApBqpxxA22242arctan42)ln(2．

（4）dxqpxxBAxk)(2 (04,22qpk)． 作变量代换2pxu，并记224apq，于是 duauApBduauAudxqpxxBAxkkk)(2)()(22222．

其中第一个积分 CaukAaudauAduauAukkk122222222)(1)1(2)()(2)(

．

第二个积分可通过建立递推公式求得．记 kkauduI)(22

利用分部积分法有 12222222)(2)()(kkkkauduukauuau

duI duauaaukauukk12222222)()(2)(

122222)(kkk

kIakI

au

u．

整理得 kkkIkakauukaI22221212)(21． 于是可得递推公式 ]2232)()1(21[111222kkkIkkauukaI． （3）

利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分 CauaauduIarctan1221．

最后由2pxu全部换回原积分变量，即可求出不定积分dxqpxxBAxk)(2． 例1 求dxxxx22)32(1． 解 dxxxdxxxx2222]2)1[(21)32(1 2222)2(2)2(1ududuu

uxu

]2212121[212)2(21222uduuuu

Cuuu2arctan22

1)2(21

2

` Cxxxx21arctan221)32(222． 例2 求dxxx2)1(1． 解 因为2)1(1xx可分解为 1)1()1(122xCxBxAxx．

其中A，B，C为待定系数．可以用两种方法求出待定系数． 第一种方法：两端去掉分母后，得

)1()1(12xCxBxxA． （4）

即 AxCABxCA)2()(12 由于（4）式是恒等式，等式两端2x和x的系数及常数项必须分别相等，于是有







1020ACABCA

，

从而解得 1A，1B，1C． 第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x值，从而求出待定系数．如令0x，得1A；令1x，得1B；把A，B的值代入（4）式，并令2x，得C2211，即1C．于是

dxxxxdxxx)1

1)1(11()1(1

22

dxxdxxdxx1

1)1(11

2

Cxxx1ln11ln．

例3 求dxxxx22)1)(1(22．

解 因为1)1(1)1)(1(2222222xEDxxCBxxAxxx， 两端去分母得 )1)(1)(()1)(()1(22222xxEDxxCBxxAx

234)2()()(xBEDAxDExDA

)()(CEAxCBED． 两端比较系数得 





220200CEACBEDBEDADEDA

，

解方程组得1A，2B，0C，1D，1E，故 dxxxxxxdxxxx)11)1(211()1)(1(2222222



dxxxdxxxdxx11)1(

211

222

Cxxxxarctan)1ln(21111ln22

Cxxxxarctan1111ln22

．

例4 求dxxxx6532． 解 因为32)3)(2(36532xBxAxxxxxx， 两端去分母得 )2()3(3xBxAx．

令2x，得5A；令3x，得6B．于是 Cxxdxxxdxxxx2ln53ln6)2536(65

3

2

Cxx56)2()3(ln．

从理论上讲，多项式)(xQ总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(xQxP分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．

例5 求dxxxxxx12232．

解 dxxdxxdxxxxxdxxxxxx1111)1)(1()1()1(12222232