第２９卷第８期哈尔滨工程大学学报Ｖ０１．２９Ｎｏ．８２００８年８月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨａｒｂｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＡｕｇ．２００８

一类非线性色散耗散波动方程的整体解

杨海鸥，郭秀芳

（哈尔滨工程大学理学院，黑龙江哈尔滨１５０００１）

摘要：研究一类具有色散项与耗散项的四阶非线性波动方程在行维空间中有界域上的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ初边值问题．其中，半线性项，（“）与Ｕ的符号相同．并满足一定的增长条件．定义了位势井ｗ及一族位势井，证明了若满足一定的条件．则此问题存在一个整体弱解。且此解在这族位势井中．最后证明了整体强解的存在唯一性．关键词：非线性波动方程；色散；耗散；位势井；整体解；存在性；位势井族中图分类号：０１７５．２６文献标识码：Ａ文章编号：１００６—７０４３（２００８｝０８—０８８６—０５

Ｇｌｏｂａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｗｉｔｈｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅ－ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅｔｅｒｍｓ

ＹＡＮＧＨａｉ—ｏｕ，ＧＵＯＸｉｕ—ｆａｎｇ

（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＨａｒｂｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５０００１，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅＤｉｒｉｃｈｌｅｔｉｎｉｔｉａｌｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｓｔｕｄｉｅｄｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ０ｆ

ｆｏｕｒｔｈｏｒｄｅｒｗｉｔｈｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅａｎｄｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅｔｅｒｍｓｏｎａｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎｉｎ行一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｐａｃｅ。ｗｈｅｒｅｔｈｅ

ｓｉｇｎｏｆｓｅｍｉ—ｌｉｎｅａｒｔｅｒｍ厂（“）ｉｓｔｈｅｓａｍｅａｓｕａｎｄｓａｔｉｓｆｉｅｓｃｅｒｔａｉｎｇｒｏｗｔｈｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌＷａｎｄａｆａｍｉｌｙｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌｓａｒｅｄｅｆｉｎｅｄ．Ｔｈｅｎｉｔｉｓｐｒｏｖｅｎｔｈａｔｉｆｃｅｒｔａｉｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｓａｔｉｓｆｉｅｄ，

ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｈａｓａｇｌｏｂａｌｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎｗｈｉｃｈｂｅｌｏｎｇｓｔｏｔｈｅｆａｍｉｌｙＯｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｅｘｉｓｔ—

ｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｇｌｏｂａｌｓｔｒｏｎｇｓｏｌｕｔｉｏｎｔｏｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍｗｅｒｅｐｒｏｖｅｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｄｉｓｐｅｒｓｉｖｉｔｙ；ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ；ｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌ；ｇｌｏｂａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ；

ｆａｍｉｌｙｏｆｐｏｔｅｎｔｉａｌｗｅｌｌｓ

对一类具有色散项与耗散项的四阶非线性波动

方程的整体解的存在性进行研究，该方程是从非线

性弹性中纵向杆形变传播及弱线性作用下空间变换离子声波传播问题中提出的，是一类具有强烈物理

背景的非线性发展方程．首先引进一族位势井（它包

含已知位势井作为特殊情形），并给出了这族位势井

的性质．而后，利用这族位势井得到了条件更宽泛的同样的整体弱解的存在性定理．最后用Ｇａｌｅｒｋｉｎ方

法证明了整体强解的存在唯一性．

在研究非线性弹性中纵向杆形变传播［１－２］及弱

线性作用下空间变换离子声波传播［３］问题时，分别得到主部含有Ｕ。一Ｕｚｘ一“。但非线性项各不相同

的一些非线性发展方程．在文献［卜３］中分别讨论了

收稿日期：２００８－０６—０３．基金项目：黑龙江省自然科学基金资助项目（Ａ２００７－０２）．作者简介：杨海欧（１９５８一），女．教授，Ｅ－ｍａｉｌ：ｙａｎｇｈａｉｏｕ＠ｈｒｂｅｕ．ｅｄｕＬ这些方程的孤立波解及某些数值结果，关于这些方

程的初边值问题及初值问题局部解、整体解存在唯

～性［卜５］也有一些研究．

考虑到实际物理背景中粘性耗散是不可避免的［６。７］，则可得到一些主部为Ｕ。－－Ｕ。一‰一“。的

非线性色散波动方程【７］．

２０００年，尚亚东［８］中用Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法与能量估

计研究了如下方程的初边值问题：

Ｕｄ—Ａｕ—Ａｕ，一Ａｕ口一，（Ｍ），ｚ∈ｎ，ｔ＞０，

（１）

ｕ（ｘ，Ｏ）＝Ｕｏ（ｚ），Ｕｆ（ｚ，Ｏ）＝Ｕ】（ｚ），ｚ∈．０，（２）

ＵＪ舶一Ｏ，ｔ≥０．（３）

得到了整体强解的存在唯一性，并讨论了解的渐进

性质与爆破（ｂｌｏｗｕｐ）．它的基本模型方程是Ｕ。一

△“一△“，－－Ａｕ。一一ｌＵＩ９Ｕ，即源项为正，外力方向与

位移方向相反，故可用Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法与能量估计得

　第８期杨海鸥，等：二类非线性色散耗散波动方程的整体解·８８７·

到方程（１）～（３）的整体强解．２００７年，刘亚成掣９１中研究了上述问题当非线

性项满足厂（“）ｕ＞ｊ０的情形，它的基本模型方程是

Ｕ。一△甜一△地－－Ａｕ。一ＩＵｌ％，即源项为正，外力方向与位移方向相同，此情况不能用文献［８］中方法，故

文献［９］采用位势井方法，证明了若Ｕ。（ｚ）∈Ｗ且

Ｅ（ｏ）＜ｄ，则此问题存在一个整体弱解，且这个解也在位势井Ⅳ中．

该文在文献［９］的基础上引进了一族位势井（它

包含已知位势井作为特殊情形），从而得到了条件更宽泛的同样的整体弱解存在性，最后讨论了整体强

解的存在唯一性．如所周知，为了得到同样的整体解

的存在性，对厂（越）“≥Ｏ的情形要比，（甜）“≤Ｏ的情

形加上更强的增长条件，而该文当以≥３时，对厂（“）加的增长阶是文献Ｅ８］中的２倍，且文中引进的

厶ｚ（“。）＞ｏ包含了文献［９］中的Ｊ（‰）＞ｏ，又比文献

［９］的条件放宽了许多却得到了同样的整体弱解，且此解含于一族位势井眠中，结果又大大增强了．故

该文研究的问题不但与文献ｒＳ］有本质区别，而且结

果也比文献ｒ８－９］有实质的推广和改进．

１一族位势井的引进及性质

在研究的问题（１）～（３）中，ＯＣＲ＂是有界域，

厂（“）ＥＣ，，（“）“≥０且满足：

ｆ（Ｈ）ｌ厂（“）ｌ≤口ＩＵｌ９，ｌ＜ｐ＜ｏｏ，ｎ＝ｌ，２；

１１＜ｐ≤籀，行况

定义能量：

Ｅ（￡）＝告｜｜地ＩＩ２＋告ＩＩＶｕＩＩ２＋

告｜ｌＶｕ，Ｉｌ２一ＩＦ（ｕ）ｄｘ

其中：Ｆ（“）一ｌ厂（ｓ）山．令

Ｊ（“）一ｉ１ＩＩＶ“ＩＩｚ－南ＩＩ“暇，

Ｊ（Ｍ）一｜ｌＶｕ２一口ＩＩ“暇：．

定义位势井：Ｗ一｛Ｕ∈Ｈ５（ｎ）ｌＪ（“）＞０，Ｊ（“）＜ｄ）Ｕ｛０）．

其中：位势井深度为ｄ＝ｉｎｆＪ（Ｕ），Ｕ∈Ｈ６（ｎ），ｆ（“）一Ｏ，ｌ｜ｖＨＩＩ≠０．

且定义：Ｎ＝｛ｕＥＨ６（ｎ）Ｉ，（比）一ｏ，ｌ｜ＶｕＩＩ≠ｏ）．

其中，ｄ＝ｉｎｆＪ（“）．进一步对艿∈（ｏ，尘岩）做如下

定义：

Ｌ（“）一６Ｉ｜ＶｕＩＩ２一ａｌｆｕｆ：尊ｊ，砌）＝铸错ｃ南汽

ｃ。ｓｕｐ怡脚．

引理１若Ｊ（“）≤ｄ（艿），ｂ（“）＞ｏ，当且仅当

ｏ＜ＩＶ“ｌＩ＜（赤）吉．

证明乍｜｜Ｕｌ舛｝≤ｏ寸１ＩＩＶｕＩＩ广１ＩＩＶｕ

＜号ＩＶｕ２．即厶（“）Ⅺ

≥由ｂ（“）＞ｏ，有｜｜ｖ“Ｉｌ＞ｏ，且由

．，（“）＝虿１Ｖ“Ｉ２－孑轴ＩＩ“Ｉ｜：一黼Ｉ

Ｖ圳２＋南枷）≤姗）．

即得结果．

引理２做为艿的函数ｄ（艿）在区间Ｏ≤ｄ≤

之＃有如下性质：

１）ｄ（ｏ）＝ｄ（掣）＝０．

２）ｄ（艿）在岛一ｌ时取最大值．

３）ｄ（ａ）在ｒｏ，＆］单调递增，在［＆，仁譬］单调递

减．

４）对任一给定的已∈（０，ｄ（＆））方程ｄ（占）一Ｐ有

２个根函∈（ｏ，＆），赴∈（岛，也芸）．

证明由ｄ（艿）＝裂芸云芋（五知）南，其中令

Ａ一‘乏导）南，则ｄ７（ｄ）一刍费（１一ｄ），可证明

性质２）、３），则性质１）、４）显然得到．

现在可以定义一族位势井：Ｗ；＝｛Ｕ∈磁（ｎ）Ｉ／ｄｕ）＞ｏ，．，（甜）＜ｄ（∞）Ｕ｛０），

艿∈（ｏ，仁譬），

矾＝｛“∈Ｈ３（ｎ）ｌ厶（“）≥ｏ，．，（“）≤ｄ（艿）），

Ｍ＝｛Ｕ∈Ｈ３（力）ＩＬ（“）一０，ＩＩｖ“ｌＩ≠０），

ｄ（艿）＝ｉｎｆＪ（“）；。∈％Ｂｄ一｛“∈Ｎｏ＇（ｏ）｜｜Ｉｖ“｜｜＜ｒ（艿）｝，

一Ｂｄ＝｛“∈Ｈ６（ｎ）｜｜Ｉｖ“ｌ｜≤ｒ（艿）），

其中，ｒ（ｄ）＝（艿／口Ｃ妒１）ｌ／（ｐ一”．

２问题（１）－－－（３）的整体弱解的存在性

定义Ｕ一－Ｕ（Ｘ，ｆ）称为问题（１）～（３）于ｎ×［ｏ，Ｔ）上的弱解，若Ｕ，Ｕｌ∈Ｌ。（ｏ，Ｔ；Ｈ３（ｎ））对几乎

所有的ｔＥｌ

ｏ，Ｔ）成立：

　·８８８·哈尔滨工程大学学报第２９卷

（地，ｕ）＋Ｉ（ｖｕ，Ｖ口）ｄ７＋（ｖｕ，Ｖ铆）＋（Ｖ珥，ｕ）一

广’Ｉ（八琵），可）由＋（确，ｕ）＋（Ｖ洳，ｖ曲＋（Ｖｌｌｌ’，ｖｖ），

（Ｖｖ∈Ｈ３（ｎ）），且Ｕ（ｚ，０）一‰（ｚ），Ｕ，（ｚ，０）一

Ｕｌ（ｚ）于Ｈ６（ｎ）．定理ｌ设厂∈Ｃ，厂（Ｕ）Ｕ≥０且满足（Ｈ），

Ｕ。（ｚ），Ｕ１（ｚ）∈Ｈ３（ｎ），若０＜Ｅ（ｏ）＜ｄ，＆＜赴是方程ｄ（ｄ）＝Ｅ（０）的２个根，且ｋ（Ｕｏ）＞Ｏ或

｜｜ＶＵ。ｆｆ—ｏ，则问题（１）～（３）存在一个整体弱解Ｕ，Ｕ，∈Ｌ。（０，。ｏ；Ｈ３（ｎ））且Ｕ∈％于艿∈（占ｌ，＆），

Ｏ≤ｚ＜ｏ。．证明设特征函数系，构造问题近似解，满足如

下常微方程组的初值问题：

（Ｍ，，ｔ，，碱）＋（Ｖ““，ｖ毗）＋（Ｖｕ。，Ｖ碱）＋

（ｖ“。，Ｖｗ，）一（厂（“。），毗）．（４）

Ｕｍ（ｚ，ｏ）＝∑ｎ加叫ｊ（ｚ）一“。（ｚ）与Ｈｉ（ａ），

“。（丁，ｏ）一∑％叫，（ｚ）一Ｍ。（工）与Ｌｚ（ｎ）．ｊ＝１将式（４）乘以９７，（￡），再对ｓ求和后对ｔ积分得

已（ｆ）＝百１｜｜“。Ｉ２＋百１Ｖ扎。｝ｌ２＋

告¨ｖＨ。ｌＩ２一ｌＦ（ｕ。）ｄｒ≤巴（ｏ）一

告ｆ｝ｚｆ。（ｏ）ＩＪ２＋告ｖ‰（ｏ）Ｊｌ２＋

告Ｉ｜Ｖｕ。（ｏ）ＩＩ２一ＩＦ（ｕ，（ｏ））ｄｘ．（５）

若ｌ｜ｖ“。ＩＩ一０，则‰∈ｗ６于艿∈（ｏ，尘≯）．若

ｋ（‰）＞０，则ｂ（‰）＞０于ｄ∈（乱，＆）．

若不然，了否∈（函，＆）使岛（“。）＞ｏ由ｋ（“５）＞

ｏ辛Ｉｖ“。ｌｌ≠０，综上可得Ｕ。∈Ｎ－，又由ｄ（占）＝

ｉｎｆＪ（越）知Ｊ（Ｕ。）≥ｄ（艿），这与．，（‰）≤Ｅ（０）一。∈％ｄ（ａ）一ｄ（＆）＜ｄ（艿）矛盾．故‰（ｚ）∈Ｖ％于艿∈

（ｄ。，＆）．同理对任一固定的艿∈（函，＆）．对充分大的ｍ，有Ｊａ（Ｕ。（０））＞Ｏ且Ｊ（Ｕ。（Ｏ））≤已（０）＜ｄ（艿），因此对充分大的ｍ，有Ｕ。（Ｏ）∈％．

下面证对充分大的ｍ及ｔ＞０有“。（￡）∈ｗａ．若

不然，则必存在ｔ。＝￡。（优）＞ｏ，使‰（ｔｏ）∈ＯＷａ，即Ｌ（Ｍ，（ｔｏ））＝０，ＩＶＵ。（ｔｏ）ｌ≠ｏ，或．，（Ｕ。（ｔｏ））一

ｄ（艿）由式（５）可得对充分大的ｍ有

．，（托。（ｔｏ））≤Ｅ用（Ｏ）＜矗（艿），ｔ＞０．（６）因此．『（‰（￡。））＝ｄ（艿）是不可能的．

若Ｌ（Ｕ。（ｔｏ））一０，Ｉ｜ｖｕ。（ｔｏ）｜Ｉ≠０可知Ｕ。（￡ｏ）∈Ｍ同上可推出矛盾，故对充分大的ｍ及ｔ＞０有Ｕ。（ｔ）∈％．又由ｄ（艿）＞Ｅ（０）≥巴（￡）≥

吉｜｜‰ＩＩ２＋ｉ１¨Ｖ‰ＩＩ２＋－厂（ｚｌ，，１）一ｉ１ＩＩ‰ＩＩ２＋

钏Ｖ训”卷孝ＩＶ“。Ｉ２＋南·

厶２（‰）及厶２（‰）＞ｏ可知，对充分大的ｍ及￡＞ｏ有

丢｜Ｉ“。｜｜ｚ，百１ｖ“。Ｉｔ黼ＩＩ

Ｖ“。Ｉ２＜搦）．（７）

其他证明同文献［９］中定理ｌ的证明，在此不赘述．推论１在定理１的条件下，进一步有“（ｆ）∈％ｌ于Ｏ≤Ｔ＜ｏｏ．

证明由定理１知Ｕ∈Ｗａ于艿∈（艿。，＆），Ｏ≤ｔ＜ｏｏ，则厶（“）＞ｏ，Ｊ（“）＜ｄ（艿）或¨ｖ越Ｉ｜＝ｏ．固

定ｆ∈［ｏ，Ｔ）令占一ｄ１可得厶ｌ（Ｍ）≥０，Ｊ（Ｕ）≤

ｄ（＆），证毕．由推论１及引理１可得：

定理２若将定理１的假设ｋ（Ｕ。）＞ｏ或者

｜｜Ｖｕ。Ｉ｜＝ｏ换成“。（ｚ）∈Ｂ厶，则问题（１）～（３）存

在一个整体弱解Ｕ，Ｕ，∈Ｌ。（Ｏ，ｏ。；Ｈ６（ｎ））且Ｕ∈

Ｂａ于０≤￡＜ｏｏ．

３问题（１）～（３）的整体强解的存在性

引理３设

１）厂∈Ｃ１，ｆ（ｕ）“≥ｏ且满足（Ｈ，）Ｉ厂（“）ｆ≤

ＡＩ“∽，０＜ｐ·＜ｏ。，当刀一１，２；０＜ｐ－≤茅与，当

以≥３；

２）ｕｏ（ｚ），Ｕｌ（ｚ）∈Ｈ２（以）ｎＨ３（Ｑ），选取ｎ抽、％，使‰（ｚ，Ｏ）一ｕ＜ｕｏ（ｚ），‰（ｚ，０）一Ｕｌ（ｚ）于

Ｈ２（ｎ）ｎＨ６（力）；

３）Ｏ＜Ｅ（０）＜ｄ且Ｕｏ（ｚ）∈Ｂ６２，占ｌ＜赴是方程

ｄ（艿）一Ｅ（Ｏ）的２个根．则对任一ｒ＞０对问题（１）～

（３）在定理１中所定义的近似解有估计：ＩＩＡｕ，ｌ２＋｜Ｉ△“。ＩＩ２≤Ｅ。（Ｔ），０≤ｔ≤Ｚ

（８）证明设特征函数系，构造问题近似解，满足如下常微方程组的初边值问题：（‰，ｍ）一（Ａｕ。，砌）一（Ａｕ。，姒）一

（△“。，Ｗｓ）一（厂（“。），ｚ％），（９）

Ｕ。（工，Ｏ）一芝ｋ加训Ｊ（ｚ）一洳（ｚ）于

Ｈ２（仃）ｎｎ１（ｎ），（１０）

““（ｚ，０）一∑‰叫ｊ（ｚ）一Ｍ１（ｚ）于

Ｈ２（ｎ）ｎＨ３（ｎ）．

（１１）