第二节 函数的求导法则
一 和、差、积、商的求导法则 二 反函数的导数
三 复合函数的导数 四 双曲函数与反双曲函数的导数
五 初等函数求导的小结
六 思考判断题
2020/4/25
1
一 和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和在点x处也可导, 并且
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
x
x
定理4 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它
们的商(分母不为零)在点 x处也可导, 并且
[ u( x)] v( x)
u( x)v( x) u( x)v( x) v2(x)
(v( x) 0).
2020/4/25
6
证 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
x0
分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.
2020/4/25
10
解 当x 0时, f ( x) cos x
当x 0时, f ( x) 1,
当x 0时,
f(0)
lim
h0
sin(0
h) h
0
1
f(0)
lim
h0Байду номын сангаас
h h
0
1
f (0) 1.
f
(
x)
cos x,
1,
x0 .
x0
2020/4/25
2020/4/25
8
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
y (tan x) sec2 x
同理可得 y (cot x) csc2 x
2020/4/25
12
于是有
y x
1 x
,
因为 f ( x)连续,
y
所以当x 0时, 必有y 0
故f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
1
( y)
( ( y) 0)
即 f ( x) 1 .
y
( y)
即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
2020/4/25
13
例1 设函数x sin y为直接函数，求 y arcsin x 的导数.
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
u( x h) u( x)
lim v( x h) v( x)
h0
h
lim u( x h)v( x) u( x)v( x h)
h0
v( x h)v( x)h
2020/4/25
7
lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
h0
h
lim [u( x h) u( x)] [v( x h) v( x)]
h0
h
u( x) v( x)
(2)略.
2020/4/25
3
推论
(1) [ f1( x) f2( x) fm ( x)] f1( x) f2( x) fm ( x)
例1 求 y x3 x2 ln x 的导数 .
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
2
)内
单
调
、
可
导,
且 (sin y) cos y 0, 所以 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1 1 sin2 y
1 1 x2
同理可得
(arccos x) 1 1 x2
2020/4/25
14
例2 设函数x tan y为直接函数，求 y arctan x 的导数.
解
y 3x2 2x 1 x
2020/4/25
4
定理3 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它
们的积在点x处也可导, 并且
[u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
注意: [u( x) v( x)] u( x) v( x); 推论
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
y
log
x a
的导数.
定理2 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的差在点x处也可导, 并且
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
2020/4/25
2
证(1) 设 f ( x) u( x) v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim [u( x h) v( x h)] [u( x) v( x)]
2020/4/25
9
例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 y (cscx) csc x cot x
例5
设
f (x)
sin x,
x,
x0 ,
求f ( x).
(3) [uvw] uvw uvw uvw
2020/4/25
5
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 .
解 y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x
2 sin x cos x 1 2 cos 2x ln x 1 sin 2x.
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
注意:
[u( x)] u( x) . v( x) v( x)
11
二 反函数的导数
法则
如果函数x
(
y)在某区间I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内也
x
可导
,
且有
f ( x) 1 . ( x)
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )
由y f ( x)的单调性可知 y 0,
解
x
tan
y在
I
y
(
2
,
2
)内
单
调
、
可
导,
且 (tan y) sec2 y 0,所以 在 I x (,)内有
(arctan x) 1 (tan y)
1 sec2 y
1 1 tan 2 y
1 1 x2
同理可得
(arc
cot
x)
1
1 x
2
2020/4/25
15
例3
设函数x
a
y为直接函数，求