目录引言 (2)1．泰勒公式 (3)1.1 泰勒多项式 (3)1.2 两种类型的泰勒公式 (4)2．泰勒公式的应用 (6)2.1 利用泰勒公式求极限 (6)2.2 利用泰勒公式证明不等式 (11)2.3 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计 (15)结束语 (17)参考文献 (17)致谢 (18)泰勒公式及其应用理学院数学082 陈培贤指导教师：卢晓忠摘要：泰勒公式是数学分析中重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。

运用泰勒公式可以有效地解决某些问题，在微积分的各个方面都有重要的应用。

本文将介绍泰勒公式及其在求极限、不等式的证明、近似计算三方面的应用，从而能够对泰勒公式有更深入的了解，认识到泰勒公式的重要性。

关键词：泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项;应用引言不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来近似表示比较复杂的函数。

多项式是比较简单的一种函数，它只包含加、乘两种运算，最适于使用计算机计算。

因此，我们常用多项式来近似表示函数。

泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的，泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式。

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式。

它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。

它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用。

这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

用泰勒公式可以很好的解决某些问题，如求极限、不等式证明、近似计算、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性等方面。

比如在求某一初等函数的定积分时，由于此函数的原函数无法用初等函数表示，考虑到一般初等函数都可以近似地用泰勒公式表示，故可运用泰勒公式进行近似计算，并能满足一定的精确度。

因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，用泰勒公式这一有力的工具能解决更多的数学实际问题。

在高等数学教材中，一般只讲泰勒公式及几个常用函数的麦克劳林公式，对其在解题中的应用介绍很少。

但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用，因此在泰勒公式及其应用方面我们有必要进行归纳总结，并且有很大的空间。

本文将从求极限、不等式的证明、近似计算三个方面介绍泰勒公式的应用。

1．泰勒公式1.1 泰勒多项式当0)(0≠'x f ，并且x ∆很小时，有如下的近似等式x x f y y ∆'=≈∆)(d 0或))(()()(000x x x f x f x f -'+≈ 上式就是用一次多项式来近似表达一个函数.在0x x =处，这个一次多项式及其导数的值分别等于被近似表达的函数及其导数的值.但是，这种近似表达式存在不足之处.它所产生的误差仅是关于)(0x x -的高阶无穷小，精确度不高.为了提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数.因此，可设想用高次多项式来近似表达函数.于是提出如下的问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间内具有直到n 阶的导数，试找出一个关于)(0x x -的n 次多项式 n n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= )1(用它来近似表达)(x f ，要求它与)(x f 之差是关于n x x )(0-高阶的无穷小.为了使求得的近似多项式与)(x f 在数值与性质方面吻合得更好，如函数的单调性、凹凸性等.于是可进一步要求)(x P n 在0x 处的函数值以及它的直到n 阶的导数值与)(x f 在0x 处的函数值以及它的直到n 阶的导数值分别相等，即要求)()(0)(0)(x f x P k k n = 0(=k ，1， ，)n )2(按此要求，可求得)1(式中多项式的各个系数为)(00x f a =,)(01x f a '=,)(!2102x f a ''=, ,)(!10)(x f n a n n = 于是n n n x x x f n x x x f x x x f x f x P ))((!1))((!21))(()()(0)(200000-++-''+-'+= )3()3(式中的)(x P n 称为)(x f 在0x 处的泰勒多项式.那么)(x P n 与)(x f 的吻合程度如何？是否是我们要找的多项式呢？即是否有))(()()(0n n x x o x P x f -=-成立，这将从下文给出证明.1.2 两种类型的泰勒公式1.2.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式定理1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有))(()()(0n n x x o x P x f -+=，即+-''+-'+=200000))((!21))(()()(x x x f x x x f x f x f ))(())((!1000)(n n n x x o x x x f n -+-+ )4( 证明： 设 )()()(x P x f x R n n -=，n n x x x Q )()(0-=，现在只要证 0)()(lim 0=→x Q x R nn x x 由关系式)2(可知 0)()()(0)(00==='=x R x R x R n n nn 并易知 0)()()(0)1(00==='=-x Q x Q x Q n n nn ，!)(0)(n x Q n n = 因为)(0)(x f n 存在，所以在点0x 的某邻域)(0x U 内)(x f 存在1-n 阶导函数. 于是当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1-n 次，得到)()(lim )()(lim )()(lim )1()1(000x Q x R x Q x R x Q x R n nn n x x n n x x n n x x --→→→==''= 0)()()(lim !1)(2)1())(()()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1(00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-----=--→--→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f n n n x x n x n x x证毕.定理所证的)4(式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -= 称为泰勒公式的余项，形如))((0n x x o -的余项称为佩亚诺型余项.所以)4(式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.泰勒公式)4(在00=x 时的特殊形式：)(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= .称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式.1.2.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用n 次多项式逼近函数的泰勒公式)4(.它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当0x x →时，逼近误差是较n x x )(0-高阶无穷小.现在将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计.定理1.2 （泰勒中值定理）若函数)(x f 在[a ，]b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(a ，)b 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[a x ∈0，]b ，至少存在一点(a ∈ξ，)b ，使得+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f 10)1(00)()()!1()()(!)(++-++-+n n n n x x n f x x n x f ξ )5( 证明： 作辅助函数 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-'+-=n n t x n t f t x t f t f x f t F )(!)())(()()()()( ，1)()(+-=n t x t G . 所要证明的)5(式即为)!1()()()()(!1)()()1(000)1(0+=+=++n f x G x F x G n f x F n n ξ或）（ξ不妨设0x ＜x ，则)(t F 与)(t G 在[0x ，]x 上连续，在(0x ，)x 内可导，且n n t x n t f t F )(!)()()1(--='+0))(1()(≠-+-='n t x n t G又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得)!1()()()()()()()()()()1(0000+=''=--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ξξξ 其中(0x ∈ξ，)(a x ⊂，)b 证毕.)5(式同样称为泰勒公式，它的余项为10)1()()!1()()()()(++-+=-=n n n n x x n f x P x f x R ξ，)(00x x x -+=θξ(0＜θ＜)1 称为拉格朗日型余项.所以)5(式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.注意到0=n 时，)5(式即为拉格朗日种植公式 ))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ 所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推广当00=x 时，得到泰勒公式1)1()(2)!1()(!)0(!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ (0＜θ＜)1 )6( )6(式也称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式2．泰勒公式的应用2.1 利用泰勒公式求极限极限是微积分的基础，极限运算是学习微积分的基本功。

求极限有许多方法，其中用等价无穷小量替换求极限是一种常用、方便、有效的方法。

但寻求等价无穷小量并非易事，在替换过程中也容易出错。

对于未定式的极限问题，一般可以采用洛必达法则来求。

但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛必达法则的情况，泰勒公式往往是比洛必达法则更为有效的求极限工具。

利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。

当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限2.1.1用泰勒公式寻求等价无穷小量及用等价无穷小量替换求极限命题：))(()()(0n x x o x P x f -+=，200000))((!21))(()()(x x x f x x x f x f x P -''+-'+= n n x x x f n ))((!100)(-++ ，若)(0)(x f i 1(=i ，2， ，)n 不全为零，且当0x x →时， 0)(→x f . 则当0x x →时，)(x P 与)(x f 为等价无穷小.证明：因为)(0)(x f i 1(=i ，2， ，)n 不全为零，设0)(0)(≠x f k ，且0)(0)(=x f j1(=j ，2， ，)1-k ，则有)())((lim 00x P x x o n x x -→ nn k k k k n x x x x x f n x x x f k x x x f k x x o ))((!1))(()!1(1))((!1))((lim 00)(100)1(00)(00-++-++--=++→ 0))((!1))(()!1(1)(!1)())((lim 00)(00)1(0)(000=-++-++--=-+→kn n k k kn x x x x x f n x x x f k x f k x x x x o ，所以1))())((1(lim )())(()(lim )()(lim 00000=-+=-+=→→→x P x x o x P x x o x P x P x f n x x n x x x x .因此，当0x x →时， )(x P 与)(x f 为等价无穷小. 证毕.由此命题可以看出，可以用泰勒公式求某一无穷小量，从而利用等价无穷小量替换求极限例1 试说明求极限30sin tan limx x x x -→时，为什么不能用x tan 与x sin 的等价无穷小x 分别替换它们？解： 我们用三阶的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式分别将x tan 与x sin 表示为 )(3tan 33x o x x x ++=，)(!3sin 33x o x x x +-= 于是)(2sin tan 33x o x x x +=-，这说明函数x x sin tan -与23x 是等价无穷小（即23x 是 x x sin tan -的主要部分）.因此只能用23x 来替代x x sin tan -，而不能用)(x x -来替代它. 例2 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求极限20)1ln(cos lim x x x x x -+→ 解： 因为分式函数的分母是2x ，我们只需将分子中的x cos 与)1ln(x +分别用二阶的麦克劳林公式表示：)(!211cos 22x o x x +-=，)(21)1ln(22x o x x x +-=+ 于是 x x o x x x o x x x x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-+•)(21)(!211)1ln(cos 2222 对上式作运算是把所有比2x 高阶的无穷小的代数和仍记为)(2x o ，就得 )(21)(21)1ln(cos 2222x o x x x o x x x x x +-=-+-=-+ 故 2121lim )1ln(cos lim 22020-=-=-+→→xx x x x x x x 例3 求极限30arcsin 22arcsin lim x x x x -→ 解： x x arcsin 22arcsin -的泰勒展开式为)(49553x o x x ++ 则原式149lim 3530=+=→x x x x 2.1.2 泰勒公式代换求极限应至少取到第几项在高等数学中，有时求极限,用带佩亚诺余项的泰勒公式代换的方法求，许多高等教学教材中都有例子，但都没有说明取到哪一项才合适。