学习必备 欢迎下载 高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面

直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点. (1)求证：EF是AB和CD的公垂线； (2)求AB和CD间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF. 又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E. 同理EF⊥DC交DC于点F. 所以EF是AB和CD的公垂线.

(2)在Rt△BEF中，BF=a23,BE=a21,

所以EF2=BF2-BE2=a212，即EF=a22. 由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为a22. 【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离. 设AB中点为E，连CE、ED. ∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB. ∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF. 同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.

∵CE=23,∴CF=FD=21,∠EFC=90°,EF=22212322.

∴AB、CD的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.

例1题图 例2题图 学习必备 欢迎下载 （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离； 过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE. ∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，

∴O是△BCD的中心，∴BO=32BE=332332.

又AB＝1，且∠AOB=90°,∴AO=36331222BOAB.∴A到平面BCD的距离是36. 【例4】 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=55,又PA⊥平面ABCD,PA=a, 求：(1)二面角P—CD—A的大小; (2)点A到平面PBC的距离. 【规范解答】 (1)作AF⊥DC于F,连结PF, ∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC, ∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.

在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin55,AD=3a,∴AF=53a,

在Rt△PAF中tan∠PFA=3535aaAFPA,∴∠PFA=arc tan35. (2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB, ∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,

∴PB=2a,∴AH=a22.

【例5】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离. 解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD. ∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.

∴DF=C1H=2. .6222DFBDBF （Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG， 则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG. 过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M， 由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC， 且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC. 在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.

.113341712317123,17121743cos3cos3,.17,1,2211221MCCCCMCQGABMCGCMMCGGABBGABAGBGCGBGCCEB知由从而可得由

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0）， A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）. ∵AEC1F为平行四边形，

例3题图 学习必备 欢迎下载 B A C

D

1A 1B1C

D1C

1

B1A

1

EDCBA

.62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BFBFEFFzzECAFFAEC （II）设1n为面AEC1F的法向量，)1,,(,11yxnADFn故可设不垂直于平面显然 02020140,0,011yxyxAFnAEn

得由





.41,1,022,014yxxy

即

111),3,0,0(nCCCC与设又的夹角为a，则1111433cos.33||||CCnCCn

∴C到平面AEC1F的距离为.11334333343cos||1CCd 【例6】 正三棱柱111CBAABC的底面边长为8，对角线101CB，D是AC的中点。 （1）求点1B到直线AC的距离.（2）求直线1AB到平面BDC1的距离． 解：（1）连结BD，DB1，由三垂线定理可得：ACDB1， 所以DB1就是1B点到直线AC的距离。

在BDBRt1中,6810222211BCCBBB34BD． 2122121BBBDDB．

（2）因为AC与平面BD1C交于ＡＣ的中点Ｄ， 设EBCCB11，则1AB//DE，所以1AB//平面BDC1， 所以1AB到平面BD1C的距离等于Ａ点到平面BD1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD1C的距离，也就等于三棱 锥1BDCC的高， BDCCBDCCVV



11

，

131311CCShSBDCBDC，131312h，即直线1AB到平面BD1C的距离是131312．

【解后归纳】 求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算的步骤；

2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的方法． 【范例4】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为4. 解析：法1 （1）∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E

（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，

故.2121,232152211BCAESSACECAD而

11111131,1,.33223DAECAECADCVSDDShhh 学习必备 欢迎下载 HD1C

1

B1A

1

EDC

BA

D1C

1

B1A1

EDC

BA

o

x

zy

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE， ∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角. 设AE=x，则BE=2－x

112

,,1.4,1,,,RtDDHDHDDHRtADEDExRtDHEEHx在中

在中在中

.4,32.32543.54,3122的大小为二面角时中在中在DECDAExxxxxxCECBERtCHDHCRt

法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA所以因为 （2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1ACED，)1,0,1(1AD， 设平面ACD1的法向量为),,(cban，

则,0,01ADnACn也即002caba，得caba2，

从而)2,1,2(n，所以点E到平面AD1C的距离为.313212||||1nnEDh （3）设平面D1EC的法向量),,(cban， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11DDCDxCE

由.0)2(02,0,01xbacbCEnCDn 令b=1, ∴c=2, a=2－x，

∴).2,1,2(xn依题意.225)2(222||||||4cos211xDDnDDn ∴321x（不合，舍去），322x . ∴AE=32时，二面角D1—EC—D的大小为4. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是 ( )

A.a B.a26 C.a33 D.a415 2.△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面α的距离为 ( ) A.7 B.9 C.11 D.13 3.从平面α外一点P向α引两条斜线PA,PB.A,B为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm和12cm ,则P到α的距离是 ( ) A.4cm B.3cm或4cm C.6cm D.4cm或6cm 4.空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 ( )