再注意到定理1.4.1，则得
推论2.6.2设 ，则A与B相抵，即 ，当且仅当它们有相同的秩；并且，设rankA = r，则有可逆矩阵P，Q，使得
．(5)
因此，秩是矩阵相抵的不变量， 是秩为r的矩阵相抵的标准形．
例2求下面矩阵A的秩：
．
解A的第2行分别乘以(－2)、(－3)，各自加到第1、3行，再将此行调到第1行，则得
．
因此，易见rankA =rankB= 3．
下面证明乘积矩阵秩的一个基本性质．
定理2.6.2设 ， ，则
rankABmin{rankA,rankB}．
证若A、B中有一个是零矩阵，则定理显然成立．
若 ，设rankA = r，则由推论2.6.2知道有可逆阵P，Q，使得
，
于是
．
考察右边矩阵，易见此矩阵不为0的行至多r行，因而由推论2.6.1与秩的定义得到
，
其中 是A的两个t阶子式，且至多相差一个符号．因而由rankA = r知道 ．所以M= 0．
综上，则得rankB≤rankA，又Tij(k)B=A，因而有rankA≤rankB．故rankA=rankB．
类似地，知道列的初等变换也不改变矩阵的秩．
据上，并注意到定理1.3.2，则得
推论2.6.1设 ，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则rankA =rankPA =rankAQ =rankPAQ．
rankA+rankB=rank
=rank rank(A+B)．
定理2.6.4(Frobenius)设 , ，则
rankABCrankAB+rankBCrankB．
证因为
，
所以，由引理2.6.1、2.6.2得
rankABC+rankB=rank rankAB+rankBC．
故Frobenius秩不等式成立．
证由秩的定义易见
rankA+rankB=rank ．
设rankA=r1,rankB=r2，则A有一个 阶可逆子块 ，B有一个
阶可逆子块 ．于是， 有一个 阶子式
．
所以
rank rank ．
定理2.6.3设 ，则
rank(A+B)rankA+rankB
证因为
．
所以，由引理2.6.1、引理2.6.2及矩阵秩的定义得到
§6矩阵的秩
教学目的通过2学时讲授，使学生理解矩阵秩的方法．
教学内容
矩阵的秩是矩阵相抵不变量，在矩阵理论中基础又重要．本节利用行列式定义矩阵的秩，阐述矩阵秩的一些基本结论，并运用分块技巧证得矩阵秩的一些著名不等式．
6.1矩阵秩的概念
定义1设 ．若A有一个r阶子式不为0，且A的所有r+ 1阶子式(假设A有r+ 1阶子式)全为0或不存在，则称r为A的秩，记作rankA=r．
又由 有 ．于是，由推论2.6.4有
rank +rank ．
因此，rank +rank ．
课外作业：
P101：3、4、5、7．
定理2.6.1初等变换不改变矩阵的秩
证由于互换变换、倍法变换均不改变子式是否为零，因此这两类初等变换均不改变矩阵的秩．
考察消法变换，设 ，且rankA=r．取B的任一个t阶子式
．
若 ，则M是A的一个t阶子式，有M= 0；
若 ，则由命题2.2.5知道M与A中的一个相应t阶子式相等，也有M= 0；
若 ，则由命题2.2.4、2.2.3知道
rankABr= rankA．
因此，
rankAB=rank(AB)=rankBArankB=rankB．
故rankABmin{rankA,rankB}．
6.2矩阵秩的分块方法
首先注意到块初等矩阵是可逆矩阵，则由推论2.6.1知道
引理2.6.1块初等变换不改变矩阵的秩．
引理2.6.2设 ， ， ，则
rankA+rankB=rank rank ．
若A= 0，规定rankA= 0．设rankA = r，那么由定理2.3.2知道，对于t＞r，若A有t阶子式，则A的所有t阶子式全为0．因此，r是A的子式不为0的阶的最大者．
易见rankA=rankA．
例1设
经计算知道A的4个三阶子式全为0，因而易见rankA=2．
显然，逐个计算A的子式来求rankA较麻烦．为了化简计算，我们来证明
让ABC的后两个因子依次为In，B，则得
推论2.6.3(Sylvester)设 ， ，则
rankABrankA+rankBn．
推论2.6.4(Cauchy)设 ， ．若AB= 0，则rankA+rankBn．
例3设A ．若A是对合矩阵，则
rank +rank ．
证由定理2.6.3有
rank +rank rank ．