年年岁岁卷相似，岁岁年年题不同。2008年是江西省高考数学自主命题的第四年，今
年全省理科平均分为 比去年了降了，特别是理科压轴题的难度系数为，属于超难题。2007
年考生满面笑容，2008年考生叫苦连天。2008年的理科压轴题是一道函数与不等式的综合
题，一改前两年以数列与不等式的综合题为压轴题局面，避免了老师和学生猜题压宝，具有
良好的导向作用。压轴题基于公平的原则体现了试题选拔功能,其设计之新颖,立意之深隧,
技巧之高难，把选拔功能体现得酣畅淋漓。本文以08年江西省高考数学理科压轴题为例谈
谈自己的看法。
1考查能力好载体

题目 函数fx＝x11＋a11＋8axax，x∈(0，＋∞)．

（1）当8a时，求fx的单调区间；
（2）对任意正数a，证明：12fx．
解 （1）略
（2）对任意给定的0a，0x，因为

ax
axxf8111111)(

，若令axb8，则8abx ①

baxxf11111
1
)(
②

（一）先证1)(xf：因为xx1111，aa1111，bb1111
又由xba2≥8244abx，∴xba≥6
所以

（2）.再证2)(xf：由①、②中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0（Ⅰ）.当a+b≥7，则a≥5，∴x≥a≥5
111b，16261611111
ax

∴2111111)(baxxf

1)1)(1)(1()()(1)1)(1)(1()()(9)1)(1)(1()(23111111111111)(
baxabxaxbxabxbabaxaxbxabxbabax
axbxabxba
bax
bax

xf
（Ⅱ）若a+b<7，由①得abx8，∴811ababx ③
因为222))1(21()(41111bbbabbbb
∴)1(2111bbb ④
同理得)1(2111aaa ⑤，于是
)8211(212)(ababbbaaxf
⑥

今证明8211ababbbaa ⑦
因为)1)(1(211baabbbaa，则只要)1)(1(2baab82abab
只要abba8)1)(1(，即证ababba81，即a+b<7，而这显然成立。
综上，对任意正数a，12fx．

此题虽然难，但其第（1）问的入口较宽，只要正确求出函数的导数，便可得到答案；这
样变难题的整体把关为难题的分支把关，充分考查学生的个性品质。数学压轴题已从“一题
把关”转为“多题把关”，设置了层次分明的台阶，入口宽，上手易，但是深入难，解到底
更难。第2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。第（2）问的构造思想和放
缩法等的应用要有很高的技巧，以下引用不等式研究专家宋庆老师的发言：说句实在话，该
题命题人陶平生教授[1]所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不恰当的时间出现在
不恰当的地方。平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。

2似曾相识燕归来
08年江西理科最后一题第（2）小题与2004年西部奥林匹克最后一题类似，且证明比
这道西部奥林匹克题还难。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。
2004西部数学奥林匹克第八题 求证：对任意正实数a、b、c都有
222222
3212abc
abbcca
（王建伟供题）

提示：令222222,,bcaxyzabc，则,,xyzR，1xyz，于是，只须证明
11132
12111xyz


，不妨设xyz。

《中学数学研究》(南昌)2006年第2期“一道西部数学奥林匹克赛题的溯源与推广”（ 四
川省篷安中学蒋明斌老师著）；对那道西部奥林匹克题给出了推广。福建龙岩学院吴善和老
师2004年7月，在《中学数学研究》（南昌）“关于IMO42一个不等式的逆向”一文给出
了右边不等式的一种证明。
从历届竞赛题中找借鉴已成为高考命题的一种趋势，2008年有几道高考试题具有竞赛背
景，譬如，天津市数学高考理科第22题第（3）小题，需要按4的剩余类讨论，广东省数学
高考理科第21题和重庆数学高考理科第22题均涉及求二阶线性递归数列的通项公式。参加
过数学竞赛训练的同学得益明显，试题背景有失公平，引发争议。
3华山不止一条道
著名数学家张景中院士认为此题难度较大，适宜竞赛而不适合高考。命题者提供的参考
答案看似推理自然，但实际上做题者难以想到。下面提供另一种解法，以供叁考。

解：∵111118111181axaxxaxaax，记8b=x,c=ax，问题

转化为在三个正数a、b、c且8abc的条件下求111(,,)111Fabcabc的
上下界。不妨设abc，记8,,takabck，把(,,)Fabc看成t的函数
111
()(,,)1811ftFabctktk




，注意变量和参数范围为02tk，计

算导数332332221'()((1)(1))((1)())(,)2kkfttktttkQtktt，这里(,)Qtk是
某个正值代数式，于是可根据233()((1)())gtktttk的正负来判断的增减。注意到
()0gk
，容易作因式分解：22()()((3))gtkttkktk，由第二个因式形成的二

次方程2(3)0tkktk的判别式22(3)4kkkV，当4k时有0V。于是
2
(3)tkktk

在(0,)k上递增，从而()ft在tk处最大。容易检验有
21
()2811fkkk




和()1ft。