非线性求解
在非线性分析中，不能直接由线性方程组求得响应。 需要将载荷分解成许多增量求解，每一增量确定一平 衡条件。
F
u
渐变式加载
非线性求解的一种方法是将载荷分解为一系列增量。 在每一增量步求解结束后，调节刚度矩阵以适应非线 性响应。
误差
载荷
F
累计响应
纯增量法的问题在于载荷 增量步导致误差累积，使 最终结果偏离平衡。
非线性分析的应用(续)
宽翼悬臂梁的侧边扭转失 稳
一个由于几何非线性造 成的结构稳定性问题
非线性分析的应用(续)
橡胶底密封 一个包含几何非线 性（大应变与大变 形），材料非线性 （橡胶），及状态 非线性（接触的例 子。
非线性分析的应用(续)
轴上装配花键，接触非线性 的例子
概述
ANSYS 最常用的非线性功能 – 几何非线性
样将易于绘制载荷－位移曲线。
４）自动时间步
• 子步中的载荷增量大小 (F) 由时间 步的大小t决定。 • 时间步大小可由用户设定或由 ANSYS自动预测与控制。 • 自动时间步 算法可在载荷步内为所有 子步预测与控制时间步长的大小（载 荷增量）。
载荷 F
F2
F1
t1
t2
t
时间
自动时间步(续)
切向刚度(续)
切向刚度矩阵代表多维空间中载荷－位移曲线的斜度。
[Kinc] 是主切向刚度矩阵。
[Ku] 考虑了与单元形状与位置改变有关的刚度。 [K] 考虑了与单元应力状态有关的刚度；它结合了应力刚化效应。
[Ka] 考虑了与压力载荷取向改变有关的刚度，取向改变是由变形引 起的。
3) 载荷步、子步 和平衡迭代
载荷
Fa
F
KT R
Fnr
在更新的构形中计算出内力 （单元力） 。 迭代中的 Newton-Raphson 不平衡量 是: R = Fa - Fnr
u
u0
u1
位移
收 敛 (续 )
Newton-Raphson不平衡量 (Fa - Fnr) 实际上从未真 正等于零。当不平衡量小到误差允许范围内时，可中 止Newton-Raphson 迭代，得到平衡解。
大应变，大位移与大转动
-– – –
结构稳定性 （前屈曲分析与后屈曲分析）
塑性
超弹性
接触非线性
非线性分析
主要内容
应理解非线性分析中所用到的基本术语：
1. Newton-Raphson法
2. 收敛
3. 载荷步，子步和平衡迭代 4. 自动时间步 5. 输出文件信息 6. 非线性求解过程 7. 高级求解控制 8. 重启动分析
FORCE CONVERGENCE VALUE = 349.2 CRITERION= 2.598 DISP CONVERGENCE VALUE = 0.1320 CRITERION= 0.9406 <<< CONVERGED EQUIL ITER 1 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= -0.1645E-01 FORCE CONVERGENCE VALUE = 10.35 CRITERION= 2.095 DISP CONVERGENCE VALUE = 0.2409E-01 CRITERION= 0.9406 <<< CONVERGED EQUIL ITER 2 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= -0.1127E-01 FORCE CONVERGENCE VALUE = 4.687 CRITERION= 2.113 DISP CONVERGENCE VALUE = 0.1024E-01 CRITERION= 0.9406 <<< CONVERGED EQUIL ITER 3 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= 0.3165E-02 FORCE CONVERGENCE VALUE = 2.179 CRITERION= 2.107 DISP CONVERGENCE VALUE = 0.5611E-02 CRITERION= 0.9406 <<< CONVERGED EQUIL ITER 4 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= -0.1385E-02 FORCE CONVERGENCE VALUE = 0.9063 CRITERION= 2.108 <<< CONVERGED >>> SOLUTION CONVERGED AFTER EQUILIBRIUM ITERATION 4 *** LOAD STEP 1 SUBSTEP 15 COMPLETED. CUM ITER = 31 *** TIME = 59.1250 TIME INC = 5.00000 *** MAX PLASTIC STRAIN STEP = 0.2136 CRITERION = 0.2500 *** AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC = 5.0000 UNCHANGED
收敛判据(续)
力收敛判据提供了一个收敛的绝对度量，因为它可直接度量内 部力与外部力间的平衡。
基于检查的位移判据只应作为力 收敛判据的辅助手段使用。
பைடு நூலகம்
只依据位移判断收敛在一些情况 下将导致错误的结果。
收敛半径
虽然使用一致切向刚度的Newton-Raphson法具有平方的收敛速度 ，但它不能保证一定收敛！只有初始构形在收敛半径以内， Newton-Raphson 才可以保证收敛。
在这个接触例题中 ，接触面积未知， 它取决与施加载荷 的大小。
非线性分析得到的结果
• 不能使用叠加原理! • 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是 重要的。 • 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
非线性分析的应用
• 一些典型的非线性分析的应用包括：
– – – – – – 非线性屈曲失稳分析 金属成形研究 碰撞与冲击分析 制造过程分析（ 装配、部件接触等） 材料非线性分析 （弹性材料、聚合物） 承受极限载荷的系统分析（塑性行为与动力响应）
在数学上，当不平衡量的范数||{Fa} - {Fnr}||小于指定 容限乘以参考力的值时就认为得到收敛。
收敛判据
• ANSYS 缺省的收敛判据是力 / 力矩和位移 / 旋转增 量。 • 对于力 / 力矩缺省的容限是0.5%，对于位移 / 旋转 增量的容限是 5% 。 • 经验表明这些容限对于大多数问题具有足够的精确 度。缺省的设置对于广泛的工程问题既不“太紧” 也不“太松”。
累计迭代步数
CUM ITER = 27
时间值与时间步大小
TIME = 59.1250 TIME INC = 5.00000
•
自动时间步信息
AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC = 5.0000 UNCHANGED
输出文件的信息(续)
*** LOAD STEP 1 SUBSTEP 14 COMPLETED. CUM ITER = *** TIME = 54.1250 TIME INC = 5.00000 *** MAX PLASTIC STRAIN STEP = 0.1512 CRITERION = 0.2500 *** AUTO STEP TIME: NEXT TIME INC = 5.0000 UNCHANGED 27
u
非线性行为(续)
引起结构非线性的原因有很多，它们可分成以下三种主 要类型： 1. 几何非线性 大应变，大位移，大旋转 2. 材料非线性 塑性，超弹性，粘弹性，蠕变 3. 状态改变非线性 接触，单元死活
几何非线性
如果一个结构承受大的变形，它改变的几何构形可导致非线性 行为。大位移、大应变和大旋转是几何非线性的例子。
载荷
收敛半径 F 如果 ustart 在收敛半径内将收 敛，否则将发散。
ustart ?
u
位移
收敛半径(续)
ANSYS 使用了许多求解工具（以后将探讨）既使用渐变式加载（ 在收敛半径内开始求解），又扩大收敛半径。
F
F
F1
ustart
u
ustart
u
扩大收敛半径
渐变式加载
切向刚度
为得到平方的收敛速度，切向刚度矩阵需要是全一致的。切向刚度 矩阵[KT]由四部分组成： [KT] = [Kinc] + [Ku] + [K] - [Ka] 这里 [Kinc] = 主切向刚度矩阵 [Ku] = 初始位移矩阵 [K] = 初始应力矩阵 [Ka] = 初始载荷矩阵
FORCE CONVERGENCE VALUE
• 最大的自由度增量 {u}
MAX DOF INC
• 力收敛判据
CRITERION
• 载荷步与子步数
LOAD STEP 1 SUBSTEP 14
输出文件的信息(续)
输出窗口包括（续） ： • • • 当前子步的迭代步数
EQUIL ITER 4 COMPLETED
Newton-Raphson 法迭代求解使用下列方程： [KT]{u} = {Fa} - {Fnr} 这里: [KT] = 切向刚度矩阵 {u} = 位移增量 {Fa} = 施加的载荷矢量 {Fnr} = 内力矢量
1
[KT]
Fa
3 2
4
目标是迭代至收敛 (后面定义)。
u
Newton-Raphson 法(续)
平衡迭代步 平衡迭代步是ANSYS为得到给定子步（载荷增量）的收敛解而采用的 方法。
载荷步，子步与平衡迭代(续)
• 在每一增量载荷步中完成 平衡迭代步。 • 载荷步一中有两个子步， 载荷步二中有三个子步。 • 每个载荷步及子步都与 “