三次函数的图像与性质
形如f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的函数叫做三次函数。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题已经成为高考命题的一个新的热点和亮点，尤其是文科数学更是如此。

我们可以采用类比的方法，利用几何画板，较为深入地研究三次函数的图像与性质以及三次方程的解的个数的问题。

１三次函数的图像与性质
设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c，其判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）。

当a>0时，若△>0，方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1f（x2）。

结论1：f（x1）·f（x2）>0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有一个公共点；f（x1）·f（x2）=0时，函数f（x）的图像与x轴有且仅有两个公共点；f （x1）·f（x2）０，f（x2）0为例）：
当a>0时，f（x）的四种图象
３推论
设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a>0），其导函数f’（x）=3ax2+2bx+c 的判别式△=4b2-12ac=4（b2-3ac）>0。

方程f’（x）=0有两个不相等的实数根，记作x1，x2，不妨令x1<x2，则函数f（x）在x=x1处取得极大值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极小值f（x2）。

类似可知a<0的情形（其余条件同前）：函数在x=x1处取得极小值f（x1），函数f（x）在x=x2处取得极大值f（x2）。

４例题
例1.（湖南卷）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为h==4.5-3x（m）（0<x<），故长方体的体积为V（x）=2x2（4.5-3x）＝９x2－６x３（m３）（0<x<），从而V’（x）=18x-18x2（4.5-3x）=18x（１－x）。

令V’（x）＝0，解得x=0<x=1，且x=1∈（0，），故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V’（1）＝9×12-6×13=3（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m。

答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。

例2.（江苏卷）已知函数f（x）＝x３－１２x＋８在区间［－３，３］上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝３２。

解：令导数f’（x）=3x2-12=0，得x1=-2<x2=2，所以M=F（-2），m=f（2），从而M-m=32。

如右图所示。

例3.（湖南卷）函数f（x）＝１２x－x３在区间［－３，３］上的最小值是－１６
解：令导数f’（x）=12-3x2=0，得x1=-2<x2=2，所以，极小值是f（-2）=-16。

以上三例中只比较了两根的大小，省略了判断两根左右的符号，更加方便快捷，而且准确可靠，推论3特别适合做填空、选择题。

５由此引发的思考
尽管研究三次方程的解是很困难的，但我们利用几何画板软件可以深入地研究三次函数的单调性、极值以及图像与x轴交点的个数。

由于三次函数的导函数是二次函数，因此，考查三次函数能把导数的有关知识和二次函数的问题巧妙结合起来，具有一定的综合性和很好的区分度。

特别是对于文科，对导数掌握的要求不高，恰恰适合做这种三次函数的导数，进而从函数的单调性、极值与对应方程的根的分布情况等方面进行导数应用的考查。

所以，三次函数的问题已经成为高考命题的重点、热点和难点，全面认识三次函数的图像与性质，对于备战高考意义重大。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。