如何破解二次函数压轴题
二次函数压轴题面临的问题_1
难学难教 学生无从下手，老师视为畏途：
1. 面对此类问题，学生一般只完成前面一、二问，后面 问题基本不看，即使优秀同学也非常恐惧；
2. 老师出于现实考量，一般放弃后面问题的讲解，一来 实在难讲；二来风险太大，投入产出不成比例.
二次函数压轴题面临的问题_2
任意情况下“开锁法”
例4：如图，已知△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形， A(a,b)，C(c,d)，求点B坐标。
解： ∵△ABC是等腰直角三角形 点B可视为点A绕点C顺时针旋转90°而成 将点C（c，d）平移到原点C ′（0，0） 则点A（a，b）平移后为A′（a－c，b－d） 将点A′绕原点顺时针旋转90°， 得点B ′（b－d，c－a） 将点C ′（0，0）平移回点C（c，d） 点B ′（b－d，c－a）平移后即为点B ∴B点坐标为（b－d＋c，c－a＋d）
第二步，将钥匙绕锁眼旋转90°；
移至原点位置；
第三步，将钥匙平移回原位，开
第二步，将斜边上一点绕原点旋转90°；
锁过程结束。
第三步，将等腰直角三角形平移回原位，
求出另一点坐标。
类比一下整个过程，两者是否有异曲同工之妙。
“开锁法”示例_1
（•黑龙江松北区）抛物线 y x2 7 x 2
与直线
1 y1x2 y x 2 交于 2
• 点：Bn，An，Bn+1， • 线：AnBn， BnBn+1 • 式： AnBn= BnBn+1 • 点： Ak，Bk， Bk+1，Am，Bm， Bm+1 • 线： AkBk， Bk Bk+1， AmBm， BmBm+1
• 式： Ak Bk Bk Bk1 或者 Ak Bk Bk Bk1
Am Bm Bm Bm1
开
将静态的几何问题，用动态的代数方法进行处理的一种
锁
法
手段。可广泛应用于等腰直角三角形及45°的构建问题。
探索“开锁法” 的基本步骤
例1：A（4,1），若将点A绕原点旋转90°得到点B，求点B坐标. • 显然点B的坐标为 • （1，－4）或（－1，4） • 注意此时B1，B2存在对称关系 例2：A（a,b），若将点A绕 原点旋转90°得到点B，求点B坐标. • 点B的坐标为（b，－a）或（－b，a）
一般情况下“开锁法”
例3：如图，已知△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形， A(－1,3)，C(2,2)，求点B坐标。
解：因为△ABC是等腰直角三角形 点B可视为点A绕点C顺时针旋转90°而成 将点C（2，2）平移到原点C ′（0，0） 则点A（－1，3）平移后对应点为A ′（－3，1） 将点A′（－3，1）绕原点顺时针旋转90° 得点B ′（ 1，3 ），将点C ′平移回点C（2，2）， 所以点B ′（1，3）平移后即为点B（3，5）
“开锁法”基本步骤
此问题分三种情况： 1. 若两定点已知，可直接通过“开锁法”确定第三点坐标； 2. 一定点一动点，可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标； 3. 同一参数两动点，可直接通过“开锁法”确定第三点参数坐标。
【开锁过程】
【开锁法】
第一步，将钥匙平移至锁眼位置；
第一步，将等腰直角三角形直角顶点平
中考数学压轴题探究2
（2016•江西）设抛物线的解析式为y＝ax²，过点B1（1,0）作x轴的垂线，交抛物线于点
A1(1,2);过点B2（
1 2
,0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（
1 2
n1
,0)（n为正
整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1。 （1）求a的值； （2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长； （3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题： ①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？ ②设1≤k＜m≤n(k,m均为正整数)，问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？ 若存在，求出相似比，若不存在，说明理由.
的增大而减小时， x的取值范围是____________ ；
（2）当EF＝MN.时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）；
（3）若二次函数L2 的图象与x轴的右交点为A(m,0)，当△AMN为等腰三角形时，求方程 的 解.
点：E、F、M、N 线：EF=MN； 式：两点距离公式，求a 点：A、M、N 线：AM=AN，AM=MN，AN=MN 式：两点距离公式，求m
Bm Bm1 Am Bm
中考数学压轴题探究
在直角坐标系中，我们常常遇到等腰直角三角形及45°的构建问题。
传统方 法
主要通过构建一线三直角，利用全等处理。美中不足之处 在于辅助线构造繁杂，特别在涉及参数的分类讨论时，容 易出现漏解。
个人认为，在坐标系中解决问题，尽可能以代数思想为主，几 何方法为辅。因此我开始探索此类问题代数化方法。开锁法也 就应运而生了。
2
2
C、D两点，点P是y轴右侧抛物线上一个动点，过点P作PE⊥x轴
于点E，交直线CD于点F．是否存在点P，使∠PCF＝45°，若存在
，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
“开锁法”示例_1
（2014•黑龙江松北区）抛物线
yLeabharlann x27 2x
2
与直线
y 1 x 2交于C、D两点，点P 2
是y轴右侧抛物线上一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线CD于点F．是否存在点P，
使∠PCF＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
中考数学压轴题探究1
y ax2 2ax a 3(a 0)
（2015•南昌）如图，已知二次函数L1:
和二次函数L2:
y a(x 1)2 1(a 0)图象的顶点分别为M,N , 与 轴分别交于点E, F.
(1) 函数 y ax2 2ax a 3(a 0)的最小值为 _____；当二次函数L1 ，L2 的y值同时随着x
错失良机
学生错失提升思维能力和水平的机会，
在初中阶段，大多数同学的知识结构是零散的，不系统的.二次函数压 轴题中渗透了函数的思想，方程的思想，数形结合的思想，分类讨论， 类比归纳等数学思想，本人认为还应该加上一个极为重要的数学思想 即：点、线、式.甚至我个人认为这个思想应该放在函数问题的首要位 置.